SU(2), SU(3), .. (harmadik rész)

Györgyi Géza
Központi Fizikai Kutató Intézet

SU(3)

H₁ + H₂ + H₃ = 0.       (6.13)

e₁ (1, 0, 0),   e₂ (0, 1, 0),   e₃ (0, 0, 1);     (6.16)

*

A térbeli izotróp harmonikus oszcillátor energiasajátállapotainak teljes ortonormált rendszere felírható a

      (6.17)

alakban; itt az alapállapot, amelyre (k = 1, 2, 3). A (6.2) felcserélési összefüggések segítségével nyerhetők az

közvetlenül (6.17), alapján pedig az

relációk. A (6.1), (6.18-19) képletekből következik:

itt n_i (i = 1, 2, 3) az oszcillátor i indexű szabadsági fokához tartozó kvantumok száma.

Hasonlóan a síkbeli izotróp harmonikus oszcillátor esetéhez, rámutathatnánk arra, hogy a Hamilton-operátornak az SU(3) kanonikus transzformációkkal szemben mutatott invarianciájából következik: valamely energiasajátállapotra a (6.10)-zel adott T operátort alkalmazva, azonos energiasajátértékhez tartozó sajátállapotot nyerünk. Vázolhatnánk most is, mily mértékű az analógia H invarianciájának a klasszikus és a kvantummechanikában adódó következményei között. Rámutathatnánk újból a kvantummechanikában jelentkező merőben új vonásra, ti. arra, hogy ott egy-egy energiaszinthez H invarianciacsoportjának meghatározott ábrázolása tartozik. Nem volna nehéz végül meghatározni - analógiában az SU(2) esetével [vö. (5.32), ill. (5.39)] - az SU(3) csoport azon ábrázolásainak mátrixait sem, amelyek a térbeli izotróp harmonikus oszcillátor energiaszintjeihez tartoznak. E kérdések tárgyalását mellőzzük azonban, s az SU(3) generátorok hatásának megadására szorítkozunk.

A (6.9), (6.3), (6.18-19) képletek alapján írhatjuk:

itt i, j, k az 1, 2, 3 számhármast jelöli tetszőleges sorrendben.

"Szemléletesebb" képleteket nyerhetünk a generátorok (6.14)-ben használt H, E_r jelölését alkalmazva. A H_i =I_ii generátoroknak, mint (6.21) mutatja, sajátfüggvénye. A megfelelő sajátértékeket m_i-vel jelöljük. .Foglaljuk össze ezeket egy m (m₁, m₂, m₃) "vektorrá"; m-re a súly elnevezés használatos. A -hoz tartozó súlyvektor komponensei:

ezek nem függetlenek, közöttük fennáll:

Így ha m-et a sajátállapotok indexelésére kívánjuk használni, további jellemzőre van szükség.

Mondjuk azt - önkényesen -, hogy az m súly az m' súlynál nagyobb, ha az m-m' vektor első el nem tűnő komponense pozitív. A legnagyobb súlyt adott n_l + n₂ + n₃ mellett jelölje j. Ennek komponenseire (6.22) alapján kapjuk:

A sajátállapotok jellemzésére j és m (egy, ill. két független komponens) együtt elegendő; ennek alapján a jelölést is fogjuk alkalmazni.

Legyen

Ez az ún. Casimir-operátor; C⁽²⁾ valamennyi SU(3) generátorral kommutál.

Az E_r, H generátorok és a C⁽²⁾ Casimir-operátor hatása a sajátállapotokra eként adható meg:

itt p a k < l tulajdonságú, ún. pozitív r = e_k - e_l gyökök összege; a , v egész számokat a következő feltétel rögzíti: m - r súly, de m - ( + 1)r nem az, és m + vr súly, de m + (v + 1)r nem az. A (6.26 b-c) képletek ugyanazt mondják, mint (6.21), más jelölésben; (6.26a) igazolása (6.26b-c), (6.14c) felhasználásával, a Casimir-operátor és a generátorok felcserélhetőségét figyelembe véve történhet. Az analógia (6.26) és az SU(2) generátorokra nyert (5.35) képletek között nyilvánvaló.

A (6.21) vagy (6.26) képletekről az SU(3) csoport említett, a térbeli izotróp harmonikus oszcillátor egyes energiaszintjeihez tartozó ábrázolásainak infinitezimális mátrixai leolvashatók. Ez utóbbiak Lie szerint meghatározzák az ábrázolásokat. Kiemeljük, hogy ezek mind irreducibilis ábrázolások; valamely állapotból alkalmas E_r generátorok kellő számú alkalmazásával az adott szinthez tartozó bármely megkapható.

Egy-egy irreducibilis ábrázoláshoz - ha tetszik: szinthez - tartozó m súlyokat [melyek (6.23) szerint egy síkban fekszenek] felrajzolva adódnak a súlyábrák. Példaként az n₁ + n₂ + n₃ = 0, 1, 2, 3 esetekre közöljük a súlydiagrammokat (1-4. ábra; a súlyvektorok végpontjához odaírtuk az m_l, m₂, m₃ komponenseket; a nullvektort kis kör jelzi). A súlyábrák teszik a (6.26) képleteket igazán szemléletessé. A H operátor-"vektornak" mindegyik sajátállapota; a sajátérték a súlyábra megfelelő vektora. Az E_r operátor j-t szintén változatlanul hagyja, m-et azonban m + r-re változtatja, vagyis: az r gyökkel megadott irányú és nagyságú "lépést tesz" a súlyábrán (és még -vel szoroz, minek folytán ha m + r nem súly, zérust kapunk). Ily módon az E_r-ek segítségével "bebarangolhatjuk" a súlyábrát (ez mutatja az irreducibilitást). A legnagyobb súly - megfelelően önkényes megállapodásunknak - a szabályos háromszög alakú súlyábra alsó bal szögpontjába mutató vektor. Ez egyértelműen jellemzi a súlyábrát és vele együtt az SU(3) megfelelő irreducibilis ábrázolását, továbbá (6.26a) szerint a C⁽²⁾ Casimir-operátor sajátértékét. Egy-egy súlyábrához (adott j-vel jellemzett irreducibilis ábrázoláshoz) tartozó állapotok sorozatára a multiplett elnevezés használatos.

A multiplettet képező -ek száma - az irr. ábr. dimenziója (jele d) - a multiplicitás, melyet a j legnagyobb súllyal a Weyl-féle dimenzióképlet eként fejez ki:

ahol

itt a produktumot a pozitív gyökök + rendszerére kell kiterjesztenünk, p pedig - mint fent - a pozitív gyökök összegét jelöli. A (6.27) képletet verifikálhatjuk pl. az 1-4. ábrák multiplettjeire; rendre a d = 1, 3, 6, 10 multiplicitásokat nyerjük.

*

Megemlítjük az SU(3) generátorok néhány szokásos, a fent alapul vett H, E_r választástól eltérő definícióját. Legyen

ekkor a operátor-vektort, a gyököket és a súlyokat két független komponens jellemzi, a gyökökre teljesül. - Egy másik használatos definíció, melynek nyilvánvalóan (5.14) a modellje:

a Pauli-mátrixokkal analóg, 3 X 3-as hermitikus mátrixok, melyeket Gell-Mann vezetett be (ezeket helykímélés céljából nem írjuk fel). - Elliott választása helyet ad a generátorok között az pályamomentum

komponenseinek; ezekhez járul az öt

generátor, melyeket tömörebben így is felírhatunk:

( a helyvektor, pedig az impulzus vektorának polárszögei).

A térbeli izotróp harmonikus oszcillátor gyakran szolgál a problémák tárgyalásának kiindulópontjául az elméleti magfizikában. Nulladik közelítésben megfelelő lehet a feltevés, mely szerint az atommag nukleonjai a magcentrumtól mért távolsággal arányos visszatéritő erő hatása alatt végzik mozgásukat. Az A tömegszámú magot jellemző H Hamilton-operátor ebben a közelítésben az A számú nukleon (6.1) mintára felírt H(1), . .... , H(A) Hamilton-operátorainak összege. Ez a H Hamilton-operátor - hasonlóan az egyes H(i)-khez - invariáns az SU(3) csoporttal szemben; így H sajátállapotai is SU(3) multiplettekbe osztályozhatók. - A fenti "független-részecske oszcillátor-modell" persze túlzott egyszerűsítést jelent. A valóság jobb megközelítése a nukleonok között ható kéttest-erők potenciáljának bevezetésével érhető el. A potenciálfüggvény alakjára s a fellépő paraméterek értékére tett "észszerű" feltevések mellett elvégzett numerikus számítások ténylegesen jó eredményeket adtak az 1p nukleonhéj feltöltésével kiépülő magok (4 < A 16) spektrumára, valamint az 1d-2s héj kezdetén (A = 19-ig); ennél nehezebb magokra az ilyen számítások nehézségei legyőzhetetlenekké válnak.

Figyelmet érdemel itt egyes magok esetében a forgási állapotok fellépte. Ezek forgási sávokba sorolhatók; egy-egy sávon belül a gerjesztési energia (legtöbbször) a magspin-operátor négyzetének I (I + 1) sajátértékével arányos. Forgási sávokat korábban nagy számban észleltek nehéz magok spektrumában. Az egészen könnyű magok között régóta ismert példa a Be⁸ mag sávja (5. ábra). Az ötvenes évek derekától kezdődően további könnyű magokban azonosítottak forgási sávokat (pl. F¹⁹, Ne²⁰, Mg²⁴ stb.; lásd 6. ábra). A forgási állapotok egyrészről leírhatók a Bohr-Mottelson-féle fenomenológikus modellel, mely feltételezi a deformált "magtörzs" létét s ehhez esetleg egy-két külső nukleont csatol, másrészről felmerülhet természetesen az igény a mikroszkópikus leírásra, mely a magot mint A számú, kölcsönhatásban álló nukleon rendszerét fogja fel. Különösen természetes a mikroszkópikus leírás igénye a könnyű magok forgási állapotai esetében; hisz' Be⁸, F¹⁹ benne fekszik a magoknak abban a tartományában, ahol az oszcillátor-modell alapján, kétnukleon-erők bevezetésével elvégzett számítások jó eredményeket adtak a spektrumokra, s a többi ilyen mag (Ne²⁰, Mg²⁴ stb.) is e tartomány szomszédságában található. Az F¹⁹ mag esetében ténylegesen bebizonyosodott, hogy a kétféle leírás - a fenomenológikus és mikroszkópikus - egymással és a tapasztalattal összhangban álló eredményekre vezet. Várhatóan másutt is fennáll az összhang, az ennél nehezebb magokra azonban az ilyen összehasonlításnak útját állják a mikroszkópikus leírással járó legyőzhetetlen számítási nehézségek (a kétnukleon-kölcsönhatás diagonalizálandó energiamátrixa nagyságrendben 100 x 100-as és annál nagyobb is lehet). Természetes gondolat, hogy az oly egyszerű képet mutató forgási spektrumok mikroszkópikus értelmezéséhez ennél egyszerűbb úton is el kell tudnunk jutni.

A térbeli izotróp harmonikus oszcillátor és az SU(3) csoport kapcsolatát felhasználva Elliott adott meg olyan - egyszerű, nagymértékben idealizált - mikroszkópikus magmodellt, amely forgási sávok felléptére vezet. Az Elliott-modell Hamilton-operátora:

itt H a független részecske oszcillátor-modell Hamilton-operátora, mely az egyes nukleonok (6.1) alakú Hamilton-operátorainak összege, pedig az egyes nukleonoknak megfelelő, a (6.30) mintára képezett SU(3) generátorok összegét jelöli:

A (7.1) részletes kiírásakor előálló

alakú tagok kölcsönhatást eredményeznek az i-edik és a j-edik nukleon között. Ez az ún. kvadrupól-kölcsönhatás nyilvánvalóan mesterkélt, nem tükrözi híven a valóságos nukleon-nukleon erők minden lényeges tulajdonságát, mindazonáltal mutat bizonyos "realisztikus" vonásokat. Így ha pl. az i-edik nukleon mozgását a z-tengely mentén végzi, úgy a j-edik nukleonnak - mint az (6.30), (7.1-2) alapján megállapítható - energetikailag előnyös mozgását ugyancsak a z-tengely mentén kell végeznie. A nukleonok mozgásában a kvadrupól-kölcsönhatástól előidézett korreláció eszerint a mag (kvadrupól-jellegű, ellipszoidális) deformációját eredményezi, amit éppen a forgási spektrummal rendelkező magoknál meg is lehet figyelni.

A független-részecske oszcillátor-modell H Hamilton-operátora - mint már említettük - természetesen SU(3) invariáns; H_E azonban nem az, a kvadrupól-kölcsönhatás ugyanis "sérti" az invarianciát. Az SU(3) csoport mégis segítségünkre van: H_E ugyanis kifejezhető SU(3) generátorokkal és sajátértékfeladata ezen az úton könnyűszerrel megoldható.

Az SU(3) transzformációk, melyek minden egyes nukleon a (i) operátor-vektorát (i = 1, 2 ,...., A) egyöntetűen (6.5), (6.8) szerint transzformálják, generálhatók pl. az egyes nukleonokra (6.9), (6.3) alapján felirt I_kl(i)-ket összegezve adódó

generátorokkal; de ugyancsak használhatjuk generátorként az eredő pályamomentum 3 komponensét s a (7.2)-vel megadott 5 operátort. A Casimir-operátor [vö. (6.25)] a generátorok mindkét fajtájával egyszerű alakban kifejezhető:

Mint látjuk, a kvadrupól-kölcsönhatás kifejezhető a C⁽²⁾, L² operátorokkal; írjuk (7.1) helyett:

A független-részecske oszcillátor-modell H Hamilton-operátornak E₀sajátértékeit az egyes nukleonok oszcillátor-energiáinak összege adja: . Minthogy a H operátor SU(3) invariáns, sajátállapotait - a korábban mondottak szerint - oly módon választhatjuk, hogy azok SU(3) multipletteket alkossanak. Egy-egy ilyen multiplett komponensei a C⁽²⁾ Casimir-operátornak sajátállapotai; ha a multiplettet egyértelműen jellemző legnagyobb súlyt J jelöli, úgy C⁽²⁾ sajátértéke J(J + p) [vö. (6.26); p az SU(3) pozitív gyökeinek összege]. Ha végül képezzük az SU(3) multiplett-komponensek azon lineráis kombinációit, amelyek L²-nek is sajátállapotai, a (7.5) Hamilton-operátor sajátérték-feladatának megoldását nyerjük.

Megjegyzendő, hogy a J legnagyobb súly helyett, melynek komponensei nem mind függetlenek, az SU(3) multiplettek jellemzésére J komponenseinek kombinációi is használatosak; C⁽²⁾ sajátértéke ezekkel a 3 alakban fejezhető ki.

Az Elliott-modell H_E Hamilton-operátorának E sajátértékét a H operátor E₀ sajátértékének, a Casimir-operátor sajátértékének, valamint az L² operátor L (L + 1) sajátértékének kombinációja alakjában nyerjük:

Adott E₀ és mellett az E energiasajátérték az L impulzusmomentum-kvantumszámtól a forgás spektrumokra jellemző függést mutatja.

*

Milyen SU(3) multiplettek, s ezeken belül milyen forgási sávok lépnek fel valamely adott magban? Az általános válasz hosszadalmas ábrázoláselméleti megfontolásokat igényel; itt csupán néhány egyszerű példát veszünk szemügyre.

Az első, legegyszerűbb példa: két részecske az n = 1 oszcillátor-kvantumszámú szinten. A kétrészecske-rendszer ilyen állapotai a

alakban írhatók fel; a rendszer alapállapota (mindkét részecske az n = 0 szinten), az egyik, a másik részecskéhez tartozik. Képezzük a (7.7) állapotok

kombinációit; a hat szimmetrikus s a három antiszimmetrikus ugyanúgy teljes ortonormált rendszert képez, mint a kilenc állapot.

Az SU(3) generátorok a kétrészecske-rendszer esetében (7.3) szerint:

Most is célszerű a H_k = I_kk, E_r = I_kl (k kepl6793_3.gif l; r = e_k - e_i) jelölés használata. A H (H_l, H₂, H₃) operátor-vektor alkalmazásával megállapíthatjuk, hogy a (7.8) állapotok valamennyien meghatározott M súlyhoz tartoznak. Az E_r operátort valamely M súlyhoz tartozó állapotra alkalmazva az M + r súlyhoz tartozó állapotot nyerünk, egy faktorral szorozva (ill. zérust, ha M + r nem súly); a [2], ill. [11] felső index eközben érintetlen marad. A (7.8a) állapotok esetében a 3. ábrán közölt hat súlyvektor adódik; a (7.8b) alatt felírt három állapothoz tartozó súlyokat a 7. ábra mutatja.

Ha az állapotok indexelésére a súlyokat vezetjük be, a generátorok hatását a (6.26) mintára áttekinthető képletekkel fejezhetjük ki. A (7.8) állapotok alsó indexpárjának szerepét M veszi át, a (7.8a) és (7.8b) állapotok megkülönböztetésére pedig a szögletes zárójelbe foglalt indexcsoport helyett a J legnagyobb súlyt alkalmazzuk. Ha az i, j alsó indexpárban az 1, 2, 3 számok rendre N_l-szer, N₂-ször, N₃-szor fordulnak elő, úgy a megfelelő M súly komponenesei:

N_k természetesen a k indexű, a és b típusú oszcillátor-kvantumok számának összegét jelenti [vö. (6.22)]. Ily módon bevezetve a (7.8) állapotokra a jelölést, a

képleteket nyerjük; itt , v hasonló jelentésű, mint (6.26)-ban.

Helyezzünk most egy részecskét az n = 2, egyet az n = 1 oszcillátor-szintre. Ilyen állapotok egy teljes ortonormált rendszere:

(18 állapot). Képezzük ezekből a jk indexpárban antiszimmetrikus kilenc

kombinációt. Ezek valamennyien normáltak, az i = j vagy i = k állapotok egymásra s a többi állapotra is ortogonálisak, az ijk = 123, 213, 312 állapotok azonban egymásra nem ortogonálisak és nem is függetlenek; független és egymásra is ortogonális állapotok azonban pl.

A (7.13) állapotok közül azok, amelyekre i = j vagy i = k, továbbá a (7.14) állapotok együttvéve (számuk összesen 8) ortonormált sorozatot képeznek. Meg lehet győződni arról, hogy itt egy SU(3) multiplettel állunk szemben; a súlydiagramm a 8. ábrán látható. Figyelmet érdemel, hogy a zérustól különböző súlyok megegyeznek a (6.15) gyökvektorokkal. Ezt a multiplettet az SU(3) reguláris multiplettjének nevezzük; a megfelelő irr. ábrázolás neve reguláris ábrázolás. Az SU(3) generátorok hatása most is áttekinthetőbbé tehető az állapotok indexeként az M súlyokat alkalmazva; némi bonyodalmat okoz azonban az az új vonás, hogy van olyan súly (M = 0), amelyhez két lineárisan független állapot tartozik.

Megemlítjük, hogy a most talált nyolckomponensű multiplett (oktett) mellett a (7.12) állapotokból képezhető még egy tízkomponensű SU(3) multiplett (dekuplett; a súlyokat lásd a 4. ábrán) is; ezen oktett és dekuplett együttesen helyettesíteni képes a 18 állapotból álló (7.12) ortonormált rendszert.

*

Röviden utalunk az egyes SU(3) multiplettek jellegzetes szimmetriatulajdonságaira. Így (7.8a) alatt ij-ben szimmetrikus, (7.8b) alatt antiszimmetrikusállapotokat látunk; e szimmetriatulajdonságokat szokás a

ún. Young-ábrákkal szemléltetni. Az egy sorban álló négyzetek szimmetriára, az egy oszlopban állók antiszimmetriára utalnak. A (7.13) állapotok a

Young-ábrával szemléltethetők; az egy oszlopban álló két négyzet a jk indexpárban fennálló antiszimmetriára utal. A Young-ábra közlése helyett sokszor az egy-egy sorban álló négyzetek számát adják meg, szögletes zárójelbe zárva. Így _{, ,} helyett rendre [2], [11], [21] írható; ezeket a szimbólumokat alkalmaztuk (7.8), (7.13-14) alatt felső index gyanánt.

Minthogy a szereplő indexek háromértékűek, antiszimmetria legfeljebb három indexben állhat fenn. Az SU(3) multiplettek Young-ábrái így legfeljebb háromsorosak lehetnek; a szögletes zárójeles szimbólum az általános esetben tehát három számból áll: [f₁ f₂ f₃] (a zérussal egyenlő f_i-ket nem szoktuk kiírni).

A Young-ábrák e futólagos jellemzésének kiegészítéseképpen közöljük az [f₁ f₂ f₃] szimbólum kapcsolatát az SU(3) multiplettek másfajta jellemzőivel. A legnagyobb súly komponensei a

a (7.6) alatt használt pedig a

kapcsolatban állnak az f_i-kel. Az f₁ + f₂ + f₃ összeget J vagy kepl94_4.gif nem határozza meg; az a háromértékű SU(3) indexek száma.

*

A kérdés, hogy adott SU(3) multiplettben milyen forgási sávok, az L impulzusmomentum-kvantumszám mely értékei lépnek fel, még válaszra vár. Újra csak példákra szorítkozunk. A (7.7-8) példában L a két részecske l = 1 momentumainak eredőjeként adódik: L = 0, 1, 2. A Wigner-féle impulzusmomentum-összeadási együtthatók szimmetriatulajdonságai azt mutatják, hogy ezek közül L = 0, 2 a [2] multipletthez, L = 1 pedig [11]-hez tartozik. A (7.13) példa [21] oktettje esetében az L = 1, 2, a (7.12)-ből képezhető dekuplettben (szimbóluma [3]) pedig az L = 1, 3 értékek lépnek fel.

*

A fenti példák mintája szerint elemezve a Be⁸ mag n = 1 oszcillátor-szinten helyetfoglaló 4 külső nukleonjának állapotait, megállapíthatjuk először is, hogy a fellépő SU(3) multiplettek [4], [31], [22], és [211]. A megfelelő értékpárok (7.16) szerint (40), (21), (02) és (10); ezeket rendre (7.6)-ba helyettesítve azt találjuk, hogy legalacsonyabban a (40) multiplett fekszik, mely a 0, 2, 4 impulzusmomentum-értékeket egyesíti magában. Az 5. ábra mutatja, hogy az elmélet e következtetése a megfigyeléssel összhangban áll.

A Mg²⁴ mag legmélyebben fekvő SU(3) multiplettjére hasonló módon = (84) adódik; ez egy 0, 2, 4, ...., egy 2, 3, 4, ...., valamint egy 4, 5, .... forgási sávot foglal magában. A 6. ábrán, mely Mg²⁴ megfigyelt spektrumát 6 Mev-ig mutatja, az előbbi két sáv jól felismerhető; a harmadik valószínűleg igen magasan, 15 Mev táján fekszik. Tanulságos végül egybevetni Mg²⁴ és Ne²⁰ spektrumát.

Az utóbbi legmélyebb SU(3) multiplettjére (80) adódik a 0, 2, 4, 6, 8 impulzusmomentum-tartalommal. Ezt a sávot, mely Mg²⁴ alapállapoti sávjával analóg, megfigyelték; míg azonban Mg²⁴ spektrumában fellép egy alacsonyan fekvő 2, 3, 4,.... sáv is, Ne²⁰ esetében ilyen nem észlelhető, összhangban a modellel.

Az erős kölcsönhatásokban jelentkező különféle részecskeállapotoknak, barionoknak és mezonoknak, vagy közös nevükön hadronoknak ma már se szeri, se száma. Példaképpen a két legismertebb barion-családot ragadjuk ki (9. és 10. ábra). a 9. ábrán bemutatott nyolctagú barion-család, a barionoktett a nukleonok [a proton (P) és a neutron (N)] mellett a , a három és a két hiperont foglalja magában. Az utóbbiak viszonylag hosszú (~ 10^-10 s) élettartamú barionok, melyeket az ötvenes években fedeztek fel. A 10. ábrán látható családnak jóideig csak kilenc tagja volt ismert. A részecskeállapotokat a pion-nukleon szórás vizsgálata során Fermi fedezte fel (1952), a , állapotokat a hatvanas évek kezdetén ismertük meg. Ezek élettartama igen rövid (~10^-23s) és azok rezonanciaként észlelhetők. A részecskecsaládok egyes tagjaira jellemző Q töltésük; ezen kívül azonban szükséges legalább még egy jellemző. Az Y hipertöltés nemcsak az egyes szinteket különbözteti meg a 9. és a 10. ábrán, de a rá vonatkozó kiválasztási szabályok jellemzik a különféle átalakulások valószínűségét is.

Gell-Mann és Ne'eman felismerése szerint ezen részecskecsaládok megfeleltethetők bizonyos SU(3) multipletteknek. Az SU(3) súlydiagrammokon az egy-egy vízszintes egyenes mentén elhelyezkedő multiplett-komponenseket az m súlyvektor harmadik komponensének ugyanazon értéke jellemzi; az egy-egy vízszintes egyenesen elhelyezkedő barionokhoz pedig ugyanazon Y hipertöltés tartozik. A megfeleltetés első lépéseként a súly m₃ komponense az Y hipertöltés -1-szeresével azonosítható. A 9. ábra barion-oktettjét a 8. ábra SU(3) oktettjével egybevetve azt látjuk, hogy m első komponense az egyes barionok töltését adja meg: Q = ml; hasonló megállapítást tehetünk a 10. ábra részecskecsaládját a 4. ábra súlydiagrammjával összevetve; a T₃ kvantumszám az m súlyból pl. az alakban nyerhető.

Az SU(3) csoport szerepének felismerése a részecskefizikában a hadronok csoportelméleti osztályozására irányuló sokéves erőfeszítések gyümölcse. A független SU(3) generátorok száma nyolc lévén, Gell-Mann elméletének a nyolcas út nevet adta, utalva a Buddhától kijelölt "nemes nyolcas út"-ra, mely "a fájdalom megszünéséhez vezet".

A részecskecsaládok és az SU(3) multiplettek között létesíthető megfeleltetés első pillantásra talán puszta érdekességnek látszik, különösebb fizikai következmények nélkül. Valójában a hadronok ezen osztályozása igen gyümölcsözőnek bizonyult. A 10. ábrán látható családnak - mint említettük - kezdetben csak kilenc tagja volt ismert. Gell-Mann érdeme a felismerés: ha ezekhez egy tizedik, Y = - 2 hipertöltésű, Q = - 1 töltésű részecske csatlakoznék, úgy e családnak a 4. ábra SU(3) multiplettje, a dekuplett volna megfeleltethető. Gell-Mann ezen jóslata ragyogó igazolást nyert: az részecskét rövidesen sikerült kísérletileg kimutatni (1964).

A nyolcas út másik sikere a Gell-Mann és Okubo által nyert tömegformula. Írjuk fel a barionok osztályozásában szerepet kapott SU(3) multiplettek, az oktett és a dekuplett komponenseit. Az oktettkomponenseket (7.13-14) alatt két operátor-hármas: és (i = 1, 2, 3) segítségével sikerült megszerkeszteni. Felhasználva ezt az eredményt, a nyolctagú barion-család és az SU(3) oktett között létesített megfeleltetés részletesen így írható fel:

A dekuplett-komponensek megszerkesztéséhez egy (i = 1, 2, 3) operátor-hármas is elég; dekuplettet képeznek a térbeli izotróp harmonikus oszcillátor n = 3-hoz tartozó (6.17) energiasajátállapotai. A tíztagú barion-család tagjainak az SU(3) dekuplett komponenseivel való azonosítása részletesen:

(8.2)

A megfelelő SU(3) generátorok, mint (7.9) alatt is:

Képezzük ezekből a

kombinációkat. A T (T₁,T₂,T₃) "vektor" az SU(2) generátorok

T x T = i T

felcserélési összefüggéseinek tesz eleget. A operátorok a neutront protonba, ill. a protont neutronba, általában a (8.1-2) képletek egy-egy sorában álló töltésmultiplettek szomszédos komponenseit egymásba transzformálja. A T operátor-vektor az izospin operátora. A T² operátor T (T + 1) sajátértékét meghatározó T izospinkvantumszám segítségével az egyes töltésmultiplettek multiplicitása az ismert 2T + 1 alakban írható fel.

A barionok nyugalmi energiáját képviselő Hamilton-operátor nem SU(3) invariáns, hiszen ha az volna, egy-egy SU(3) multiplett egyenlő nyugalmi energiájú (tömegű) részecskeállapotokat egyesítene magában. Legfeljebb közelítő SU(3) invarianciáról lehet beszélni, arra hivatkozva, hogy a 9. és 10. ábrákon a tömegfelhasadás viszonylag csekély. Feltehetjük, hogy az SU(3) invarianciát megsértő pertubációs operátor - mely a tömegfelhasadást eredményezi, éppúgy mint a mágneses tér a Zeeman-felhasadást - egyszerű szerkezetet mutat. Szem előtt tartva a lineáris Zeeman-effektust, a legegyszerűbb feltevés az, hogy ez a perturbációs operátor -mal arányos. Ekkor azonban az oktettben nem lép fel a felhasadás. Tartalmazzon ezért a perturbációs operátor egy a generátorokban kvadratikus tagot is, mellyel azonban a (8.4) izospin-operátor legyen felcserélhető. Ennek alapján választásunk:

A második tag így is írható:

A (8.6) operátor sajátértéke adja meg a tömegfelhasadást:

-vel a Casimir-operátor sajátértékét jelöltük. Ez Gell-Mann és Okubo tömegképlete. Az oktett- és dekuplett-komponensek tömegére a

összefüggést kapjuk. Mindkettő igen jól teljesül. - A (8.7) képletet használta fel Gell-Mann arra, hogy megjósolja az tömegét, továbbá a szabálynak megfelelő lassú bomlását.

Látjuk, hogy a Gell-Mann és Ne'eman által megadott osztályozás gyümölcsözően használja fel az SU(3) multipletteket és generátorokat, ugyanakkor azonban az SU(3) csoport és ábrázolásainak mátrixai számára nem juttat semmilyen szerepet. Ez - hasonlóan a másutt látott ilyen esetekhez (pl. izospin) - a töltést, ill. a hipertöltést illető szuperkiválasztási elvvel áll kapcsolatban.

*

Figyelmet érdemel, hogy a "nyolcas út" a hadronok osztályozására kizárólag olyan SU(3) multipletteket használ, amelyek összesen három , ill. operátor alkalmazásával képezhetők [lásd (8.1-2)]. Vajon van-e a természetben szerepük más SU(3) multipletteknek is, mindenek előtt a legegyszerűbb nemtriviális - ún. fundamentális multipletteknek (lásd a 2., 7. ábrák súlydiagrammjait)? Ezt a kérdést először Gell-Mann és Zweig vette fel, rámutatva arra, hogy ezen multipletteknek elektromos, barion- és hipertöltésű részecskék felelnének meg. Gell-Mann e feltételezett részecskéknek a kvark nevet adta.

Szabad kvarkot mindeddig nem figyeltek meg. Sok esetben igen gyümölcsözőnek bizonyult azonban a feltevés, mely szerint minden hadron kvarkokból épül fel. Eszerint az ismert barionok három kvarkból állanának, a mezonokat pedig kvark-antikvark-pár képezné.

Az , operátorokat fent matematikai segédeszközként használtuk fel, de tekinthetnénk azokat kvark-keltő operátornak is; a három operátor (i = 1, 2, 3) természetesen a kvark térbeli mozgásáról nem, csak elektromos és hipertöltéséről ad számot. Az SU(3) multiplettek hadronfizikai jelentőségének alapját talán a fundamentális kvark-triplett létezése, az kvark-operátor indexének "trichitomiá"-ja képezi.

Megvilágítást igényel a kérdés, eddig azonban elsiklottunk felette: Mit jelent az, hogy míg a (8.2) dekuplett egyedül az (i = 1, 2, 3) operátorhármas segítségével is felépíthető, a (8.1) oktett megszerkesztéséhez feltétlenül szükséges egy további (i = 1, 2, 3) hármast bevezetnünk? Ha ezen operátorokat kvark-operátorokként értelmezzük, miben különböznek egymástól az a- és a b-kvarkok? Mindezek a kérdések a hadron-szupermultiplettek elméletéhez vezetnek (10. szakasz).