6. Variancia analízis

Több minta szórásnégyzetének (varianciájának) összehasonlításán alapul a statisztika egyik nagy fejezete, a variancia analízis. A vizsgálatok célja ennek alkalmazásakor ugyanaz, mint a két mintára kiterjedõ statisztikai próbáké volt: sokaságok egyezésének vagy eltérésének valószínûsítése. Meg kell jegyezni, hogy amikor a mintaszórások eltérés-valószínûségét F próbával határozzuk meg, a mintaelemek legyenek függetlenek és normális eloszlásúak.

A módszer lényegét számos variancia analitikus eljárás közül a legegyszerûbbön, az "egytényezõs" variancia elemzésen mutatjuk be.

Több sokasággal foglalkozunk, amelyekrõl feltesszük, hogy N(m _i,s²) eloszlásúak, aholm _i az i-edik sokaság várható értéke,s² pedig a sokaságok megegyezõ varianciája. Kérdésünk az, a minták elkerülhetetlen eltérése véletlen-e, avagy érvényesült valami olyan hatás, aminek alapján a sokaságok nem tekinthetõk megegyezõnek.

Szabatosan a

nullahipotézis elfogadásáról vagy elvetésérõl van szó. Vegyük észre, hogy különös módon most szórások összehasonlításával középértékek eltérésérõl ítélkezünk.

Az eljárást példán mutatjuk be. Tegyük fel, abban kívánunk dönteni, hogy három, L1, L2 és L3 laboratórium egyenlõ megbízhatóan dolgozik-e, avagy a laboratóriumokból érkezõ eredményeket fenntartással kell fogadni. A vizsgálathoz a három laboratórium 1,5 tömeg% ként tartalmazó gázolajat kap, amelyet ugyanazzal a (megegyezõ szórású) szabványos módszerrel kell megvizsgálnia. L1 labor n₁ = 3 párhuzamos mérést végez, L2 labor n₂ = 5-öt, L3 n₃ =4-et. A beküldött eredményeket a 6.1 táblázatban bemutatott elrendezésû táblázatba foglaljuk. Itt x_ij jelenti a j-edik laboratórium i-edik mérési értékét. (A számszerû értékek a 6.3 táblázatban találhatók).

	j = 1	j = 2	j = 3	Sorösszegek /átlagok
i = 1	x11	x12	x13
i = 2	x21	x22	x23
i = 3	x31	x32	x33
i = 4		x42	x43
i = 5		x52
Oszlopösszeg
Elemszám	n1	n2	n3
Szab.fok	n1 -1	n2 -1	n3 -1	n -3
Átlag
Eltérésnégyzet-összeg
Variancia
Átlag csoportok között
Eltérésnégyzet-összeg csoportok között
Variancia csoportok között

A táblázatban látható két variancia, az MS_intra és MS_inter érték közül az elsõ a kénmeghatározó módszer szórását, véletlen hibáját becsli. A második a laborok középértékeinek eltérését tükrözi azok közös középértékétõl. Belátható, hogy ha a középértékek egymástól jobban eltérnek, mint amennyit a módszer szórása megenged, akkor a laboratóriumok között szignifikáns eltérés van. A döntés az MS_intra és MS_inter varianciák F próbáján alapul. Ha a kapott F nagyobb, mint a kritikus F(a ,n₁,n ₂) érték, akkor a (6.1) nullahipotézist elvetjük.

A variancia analízisnek ezeket a lépéseit a 6.2 táblázat mutatja.

	SS	Szab.fok	MS		p
Csoportokon belül	SSintra	n intra	MSintra
Csoportok között	SSinter	n inter	MSinter	--	--
Összesen	SStotal	n total	--	--	--

A táblázat legalsó sorában az

egyenlõségnek kell (matematikai okokból) teljesülnie. Ez hasznos ellenõrzési lehetõség. Ugyanez áll a szabadsági fokokra is. A táblázatban szereplõ p érték azt adja meg, hogy a kapott  hányadosnál nagyobb értékek mely valószínûséggel fordulnak elõ. A statisztikus döntést nyilván ennek alapján is meg lehet hozni. A variancia analízis algoritmusai azonban legtöbbször kérik az a tévedési valószínûséget és megadják F kritikus értékét.

A bevezetésben bemutatott példa számszerû eredményeit a 6.3 táblázat mutatja be.

	L1	L2	L3	sorösszeg	Sorátlag
x1.	1,5	1,6	1,3
x2.	1,55	1,72	1,3
x3.	1,47	1,4	1,4
x4.		1,48	1,45
x5.		1,55
xij összegek	4,52	7,75	5,45	17,72
Mérésszámok	3	5	4	12
Szab.fokok	2	4	3	9
Átlagok	1,506666667	1,55	1,3625		1,476666
Eltérésnégyzet-összeg	0,0032666	0,0588	0,016875	0,0789416
Varianciák	0,0016333	0,0147	0,005625		0,008771
VARIANCIA ANALÍZIS
Tényezõk	SS	df	MS		p-érték
Csoportok között	0,081725	2	0,0408625	4,658661459	0,040851902
Csoporton belül	0,078941667	9	0,008771296
Összesen	0,160666667	11

A kritikus F érték 5% tévedést megengedve, egyoldalas kérdésfeltevésnél 4.256 lenne. Ennél a kapott F érték nagyobb, így a nullahipotézist, miszerint a laboratóriumok egyformán dolgoznak elvetjük. p értékbõl látjuk, hogy a döntés nem módfelett biztos, hiszen, ha "igazságosabbak" akarunk lenni, és csak 3% tévedést vállalnánk, a laboratoriumokat már nem tartanók különbözõnek.