3.2 Az adatok eloszlása, a minták jellemzõi

Bár az adatok sorozatának és képének megtekintése bizonyos fokig tájékoztat az adatok elhelyezkedésérõl, szükség van olyan számadatokra, amelyek tömören jellemzik a minta (a) közepét, (b) terjedelmét és (c) eloszlását. Egy-egy célra több jellemzõ közül lehet választani.

A valószínûségszámítás sokaságok eloszlásának jellemzésére pontosan definiált mennyiségeket, mint várható érték, szórás, ferdeség, lapultság, korrelációs együttható stb. Levezette ezeknek a mennyiségeknek tulajdonságait is. Az alábbiakban ismertetett tapasztalati (kisérleti, gyakran statisztikáknak nevezett) jellemzõk ezeknek az elméleti mennyiségeknek becslései. A becslések között különösen értékeljük azokat, amelyek torzítatlanok. Torzítatlan az a becslés, amelynek várható értéke megegyezik azzal a mennyiséggel, amelyiket becsül.
 

3.2.1 Mintaközép jellemzõk

a) számtani közép, mintaátlag, (mean)
 

A számtani közép           (3.7)

A számtani közép a hagyományos legkisebb négyzetek elvének megfelelõ jellemzõ, a várható érték torzítatlan becslése. Hátránya, hogy érzékeny a szélsõségesen eltérõ ("kilógó") adatokra.

    Az 3.1 példában szereplõ adatok számtani közepe: - 7.542
 

b) medián, (median)

A medián az x változó azon értéke, amelynél a minta elemek fele kisebb, fele nagyobb.
 
 

ha a minta páratlan elemû, n = 2m+1        (3.8/a)          ha a minta páros elemû, n = 2m         (3.8/b)

A medián nem érzékeny szélsõséges értékekre, u.n. robusztus becslõ.

    Az 3.1 példában szereplõ adatok medánja: 6
 

c) módusz (mode)

A módusz a valószínûségi változó sûrûségfüggvényének maximumhelye. Kisérleti meghatározása nagy mintákból lehetséges, ahol beszélhetünk azonos értékû mintaelemekrõl-rõl.

További, adott esetben hasznos, de gyakorlatunkban ritkábban elõforduló mintaközép jellemzõk még a mértani közép:

és a harmonikus közép:

3.2.2 Kiterjedés jellemzõk

a) standard deviáció (tapasztalati szórás, korrigált empirikus szórás (standard error, standard deviation):
 
 

Standard deviáció  =         (3.10)

Ez a jellemzõ az elméleti szórás becslése. Nevezõjében a kézenfekvõ n helyett azért szerepel n - 1, mert azt csak n - 1 független mért adatból számíthattuk ki. A számtani közép ugyanis egy adatot az n közül a többibõl kiszámíthatóvá tesz. Ha a nevezõben n állna, a standard deviáció torzítottan becsülné a szórást.
 

    Az 3.1 példában szereplõ adatok standard deviációja: 98.64
 

b) variációs együttható (coefficient of variation)
 

(3.11)

A variációs együttható azt mutatja meg, hányadrésze, hány százaléka a tapasztalati szórás a középértéknek. Bizonyos esetekben (pl 0 várható értékû sokaságoknál) értelmetlen.

c) terjedelem (range)

A terjedelem a legnagyobb és legkisebb mintaelem különbsége
 

    Az 3.1 példában szereplõ adatok terjedelme: 117 - (-236) = 353

d) kvantilisek (quantiles)
 
 

    Az 3.1 példában szereplõ adatok elsõ kvartilisa -63.5, mediánja 6, harmadik kvartilisa 63.5
 
 

3.2.3 Egyéb eloszlásjellemzõk

a) ferdeség (skewness)

 

A ferdeség                  (3.13)

Ez a mennyiség a harmadik centrális momentum/szórás³ módon, a

képlettel definiált mennyiség becslése. A ferdeség valószínûségi változóknak különbözõ sûrüségfüggvényei esetén az alábbiak szerint alakul:

    Az 3.1 példában szereplõ adatok ferdesége: -0.7285
 

b) lapultság (kurtosis)

 

A lapultság:               (3.14)

A lapultság a

képlettel, g₂ = negyedik centrális momentum / szórás⁴ -3 módon definiált mennyiség becslése.

Ha a lapultság pozitív, akkor a sokaság eloszlásának sûrüségfüggvénye csúcsosabb, mint a normális eloszlás haranggörbéjéé, ha negatív, akkor laposabb, ha 0, akkor egyezõ.

    Az 3.1 példában szereplõ adatok lapultsága : - 0.3232