"Utinam Gauss superstes esset!"
(Bolyai János levele apjához)

Foglalkozott-e számelmélettel
Bolyai János ?

Kiss Elemér

A számelmélet a matematika egyik legrégibb és legérdekesebb ága. Elsõsorban az 1, 2,-3 4, ... természetes számok tulajdonságait kutatja. Ezek a legközelebbi számismerõseink, egyben a legkiismerhetetlenebbek is. Ezért a számelmélet valóságos tárháza az érdekes, sokszínû, nemegyszer reménytelenül nehéz problémáknak. Bár a számelméleti tételek megfogalmazása igen gyakran rövid és egyszerû, bizonyításuk sokszor hosszadalmas és nehéz. Mégis az elmúlt évszázadok folyamán sok kiváló matematikust vonzott az ebben az elméletben található feladatok szépsége és változatossága. Vajon Bolyai János találkozott a számelmélet érdekfeszítõ kérdéseivel? S ha találkozott, hogyan fogadta azokat? Sikerült talán az abszolút geometria megalkotójának ebben a tudományágban is új eredményeket felismernie? Az alábbiakban kéziratainak újabb átvizsgálása alapján válaszolunk ezekre a kérdésekre.

Azóta, hogy a múlt század végén megtörténtek az elsõ lépések a Bolyaiak hagyatékának feltárására és ápolására, úgyszólván megszakítás nélkül folyik a kutatás, újabb meg újabb eredményekkel gazdagítva a szakirodalmat. Az elmúlt évtizedek során rangos monográfiák (Paul Stäckel, [1] Dávid Lajos, [2] Alexits György, [3] Weszely Tibor [4]), tudományos dolgozatok, népszerûsítõ cikkek születtek, amelyek szerzõi sokoldalúan ismertetik Bolyai János (1802-1860) életét, munkásságát. Már-már azt hihetnénk, hogy nincsenek fehér foltok a Bolyaikra vonatkozó ismereteink térképén. A Bolyai Jánossal foglalkozó mûvek fõképpen geometriai vizsgálatait helyezik elõtérbe. Ez természetes, hisz õ geometriai felfedezéseivel írta be nevét a matematikatörténetbe.

A Bolyai János munkásságát méltató legtöbb munka megemlíti ugyan, hogy kísérletezett számelméleti problémák megoldásával is, de sietve hozzáteszik, hogy ezen a téren nem ért el semmilyen említésre méltó eredményt. Már az elsõ és mindmáig a legtartalmasabbnak ítélt Bolyai-monográfia szerzõje, Paul Stäckel könyvében (1913) több helyen beszámol arról, hogy milyen természetû számelméleti feladatok foglalkoztatták Bolyai Jánost. Megírja, hogy ezekre apja, Bolyai Farkas (1775-1856) buzdította õt már fiatal korában, de aztán hozzáteszi: "Elõrehaladott korában is foglalkozott számelmélettel, de kevés sikerrel, úgyhogy a tárgyra vonatkozó följegyzéseivel nem érdemes foglalkoznunk." Alexits György 1977-ben ezt írja: "Bolyairól tudjuk, hogy foglalkozott számelméleti kérdésekkel is, de ezekrõl csak egy-két, érthetetlen jelekkel teleírt cédula és levélboríték adhatna felvilágosítást, ha ki lehetne hámozni az odavetett jelek értelmét. De nem valószínû, hogy számelméleti kísérletei valamilyen értékes eredményt tartalmaznának..." Egyedül Weszely Tibor fogalmaz 1981-ben óvatosan, az igazságot jobban megközelítõen, amikor megjegyzi, hogy Bolyainak a számelmélet terén semmiféle jelentõsebb eredményérõl nincs tudomásunk. Ez valóban így is volt, amikor Weszely nagy sikerû könyve napvilágot látott.

Bolyai János kéziratos hagyatékának nagy részét Marosvásárhelyen, a Teleki-Bolyai Könyvtárban õrzik. A mintegy 13 000 oldalnyi kézirat legújabb áttanulmányozása eredményeképpen az eddig megjelent monográfiákban hangoztatott állításokat szükséges átértékelnünk, sõt helyreigazítanunk. A kézirathagyaték lapjai, az eddig még feltáratlan több Bolyai-levél arról tanúskodik, hogy a fenti véleményekkel ellentétben a geométer Bolyai János igen élénken érdeklõdött a számelméleti kérdések iránt. Õt is megejtették a "matematika királynõjének" nehéz feladatai, és amint látni fogjuk, olyan följegyzéseket is rejtegetnek a kéziratok, amelyeket kibetûzve meglepõdve fedezzük fel Bolyai Jánosnak a számelmélettel kapcsolatos gondolatait, amelyekkel megelõzte más matematikusok késõbb közzétett munkáit. Sajnos, ezek az eredmények máig ismeretlenek maradtak. Így történhetett meg például, hogy az egyik szép Bolyai-tétel ma nem Bolyai Jánosnak, hanem újrafelfedezõjének nevét viseli.

De ne siessünk túlságosan elõre...

Nézzük meg rendre, mindvégig a kéziratokat faggatva, hogy miképpen vélekedett Bolyai János a számelméletrõl, annak nagy alakjáról, Gaussról, remekmûvérõl, a Disquisitiones arithmeticae-rõl, majd pedig vizsgáljuk meg a hagyatékban eddig "rejtõzõ" néhány számelméleti eredményét.

Bolyai Jánost a számelmélet valósággal elbûvölte. Nyilatkozata errõl jó példája egyik sajátosságának, hogy sok följegyzésében egyes szavakhoz több rokon értelmû új szót tesz hozzá: "A számelméletben nemcsak az egész számok, hanem az egész tan legfontosabb, leghasznosabb, leglényegesebb, legszebb, legérdekesebb, legkecsesebb feladatait találjuk". Ismert, hogy C. F. Gauss (1777-1855) is igen kedvelte a számelméletet. Tõle származik a mondás, hogy ha a matematika a tudományok királya, akkor a számelmélet a matematika királynõje. Bolyai, bár nagy tisztelõje a "göttingai kolosszus"-nak, õt a számelmélet nagymesterének nevezi, mégsem ért ezzel egyet. "Gauss igen korán fõleg a számelmélettel foglalkozott - állítja. - Ez életfogytáig kedvenc tárgya maradt, amelyet, habár nem jogosan, a matematika királynõjének nevezett."

1801 nyarán látott napvilágot a számelmélet alapvetõ tankönyve, Gauss Disquisitiones arithmeticae címû munkája. Néha e könyv megjelenésétõl számítják a modern számelmélet kezdetét. A Disquisitiones Bolyai János kézikönyve volt, tehát jól ismerte, sokat forgatta. A számelmélet sok tételét ebbõl a könyvbõl olvasta. Ma ez a munka a Magyar Tudományos Akadémia könyvtárában található, benne Bolyai egyre halványuló széljegyzeteivel. De Farkasnak is volt egy példánya Gauss munkájából a szerzõ dedikációjával (Amico suo de Bolyai per curam Pauli Vada, auctor), amelyet aztán õ a Teleki-tékának ajándékozott (A Teleki Thecanak adom néhány egyébbel együtt, Bolyai Farkas).

Erre a mûvére Gauss is büszke volt. Egy 1808. szeptember 2-án Bolyai Farkashoz írt levelében úgy nyilatkozik, hogy a Disquisitiones arithmeticae-t csak hat matematikus értette meg egész Európában. Ugyanitt a számelméletrõl szólva azt mondja: "Figyelemre méltó, hogy bárkit, aki komolyan foglalkozik ezzel a tudománnyal, igaz szenvedély kerít hatalmába."

A Disquisitionest Bolyai János sem tartotta könnyû olvasmánynak. Idézzük két mondatát. Egyrészt "Az ki az emberi elméknek egyik legremekebb és mélyebb mívén erejét meg akarja próbálni, és magát a netaláni maga - kétség - korságából meggyógyítani, annak ajánlom például a Göttingai kolosszus Gaussnak Disquisitiones arithmeticae címû munkáját". Másrészt "... a készülõ prímtannak bármely, tehát a Disquisitiones arithmeticaenak is bármely theorémáját procerto (bizonyosan - K. E.) megmutathatni, problémáját resoválhatni és így erre nézve, az egész Disquisitiones arithmeticae-t zsebbe tehetni ugyan: noha másfelõl, azon ABC-je az õ módjának, sajátságos és sokkal nehezebb volta miatt mind az enyim mellett is, örök-megtartást és nagyra becsülést, respective bámulatot érdemel".

Bolyai János legtöbbet a prímszámokkal veszõdött. "Az egész számtan sõt az egész tan mezején - vallja - alig van szebb és érdekesebb... s a legnagyobb nyiászok (matematikusok - K E.) figyelme és eleje óta elfoglalt tárgy, mint a fõszámok (prímszámok - K. E.) oly mély homályban rejlõ titka".

Egy olyan eljárást keresett - mint olyan sokan mások -, amelynek segítségével bármely törzsszám megfelelõ képlettel kifejezhetõ. Egyidõben úgy érezte, hogy ezt a szándékát sikerül megvalósítania. Egyik följegyzésén így fogalmaz: "...nagyobbra nõtt, hágott azon régóta táplált sejtelmem és reményem, miszerint a fõszámokat hányadikságuk által függetlenül vagy egyenesen, közvetlenül is kitehetem, ... vagyis egy oly idomot (képletet -K. E.) adni, mely alatti számok mind fõk". Ugyanezt a gondolatot olvashatjuk ki apjának írt egyik igen bizakodó hangú levelébõl: "A prímek kirekesztõ formulájának is már nincs kételyem, hogy még pedig rövid idõn, sikerülnie kell, még pedig bármi idomúak legyenek. Utinam Gauss superstes esset! (Bárcsak Gauss túlélõje lenne! - K. E.). Erre és még sok más hasonlók eléggé legtekintélyesebb méltányolhatására nézve is".

"Bárcsak Gauss túlélõje lenne..."

Lehet közömbösen olvasni Bolyai János fájdalmas felkiáltását? Bárcsak Gauss túlélõje lenne! Ki ne érezné ebbõl a néhány szavas széljegyzetbõl azt a lelke mélyén rejtõzõ titkos vágyat, hogy bár Gauss is tudomást szerezne az õ felfedezéseirõl. Mennyire sóvárgott az elismerés akármilyen parányi sugaráért! S ezt egész életében leginkább Gausstól várta.

Köztudott, hogy Bolyai Farkas 1832 januárjában kéri Gauss véleményét az Apppendixrõl: "... - fiam többre becsüli az ítéletedet mint egész Európáét - és csakis erre vár." A választ is ismerjük. Aztán 1846-ban ismét azt tanácsolja apjának, hogy a képzetes mennyiségekkel kapcsolatos munkákról kérjék ki "más elismert... jó ízlésû tanászok ítéletét (például egy Gaussét)". De végül is sem õ, sem pedig apja nem fordult még egyszer Gausshoz, pedig Bolyai János Gauss halálát azért is gyászolja, "mivel az igazi jó mathematicumnak megítélésében rajtunk kívül legcompetensebb bíró veszett el a tan ... kárára".

Bolyai János a prímszámképletet elõször az ún. kis Fermat-tételben vélte felfedezni (P. Fermat 1601-1665). Ez a tétel azt mondja ki, hogy ha p prímszám, a pedig olyan egész szám, amely nem osztható p-vel, akkor az a^p-1-1 különbség osztható p-vel, amit röviden a következõképpen szoktunk írni

.          (1)

Például 2¹²-1 = 4095 osztható 13-mal, 3¹⁶-1 = 43 046 720 osztható 17-tel, de 2¹¹-1 = 2047 nem osztható 12-vel.

A kis Fermat-tétel fordítottja azonban nem érvényes, azaz ha igaz (1), vagyis ha az a ^p-1-1 különbség osztható p-vel, abból nem következik szükségszerûen, hogy p prímszám. Bármely a egész számhoz találhatunk olyan összetett p számokat is, amelyekre az (1) kongruencia fennáll.

Például , bár és , de . Az olyan összetett p számokat, amelyekre az (1) kongruencia a=2 esetén teljesül, álprímeknek nevezzük. Ezek szerint 341 és 561 álprímek. Vannak olyan p összetett számok is, amelyek minden, p-hez relatív prím a-ra kielégítik a kis Fermat-tételt. Az ilyen p-ket felfedezõjükrõl Carmichael-számoknak nevezzük. A matematikusok sokat vizsgálták ezeket a különleges számokat. Érdekes történetükben Bolyai János is fontos szerepet játszott. Igaz, hogy ez a szerep ismeretlen maradt a matematika történetében.

Apja ösztönzésére megpróbálta bebizonyítani a kis Fermat-tétel fordítottját. Néhány kísérlet után azonban rádöbbent arra, hogy ez lehetetlen, vagyis a kis Fermat-tétel fordítottja általában nem érvényes. Több olyan összetett számra, álprímre bukkant, amelyekre az (1) összefüggés fennáll.

A 341-es szám felfedezésérõl így számol be apjának egy 1855 májusában írt levelében: "A tegnapelõtt ígért -re nézve ugyan ezelõtti vizsgáimat hirtelen nem kaphatván elé, vagyis inkább akarván újból gondolkozni rajta, még tegnap tisztába jöttem mire nézve itt rövidségért bõvebb tárgyalást mellõzve a fõ dolog iránti kétely és nyugtalanság eloszlatására elég már a következõket is közölni: ...mi pedig a legközelebbi és tulajdonképpeni fõ kérdés, hogy éppen is lehet bár is m nem prím, minek megmutatására persze elég egyetlen példa is, mint a következõ, melyre ugyan csak történetesen de még sem vaktában, hanem elmélet után mentem. 2³⁴⁰-1 oszlik ()-gyel... úgy, hogy tehát sem a Fermat theoréma sem a -re nézti szép sejtelem (mely ha a dolog természete szerint valósulhatott volna, egy excellens és nagyon kényelmes új isme-jele (critériuma) lesz a prímeknek), nem csak, hogy generaliter nem, hanem még azon különös esetben sem állanak, ha a = 2...".

"A tegnapelõtt igért -re nézve..."

Talán megbocsátja a kedves olvasó, ha itt egy személyes élménnyel tolakszom elõ. A hagyaték lapozgatása során elõször Bolyai János idézett levele került a kezembe. A levél izgalmas matematikai tartalma mellett különösen megragadott a következõ két mondatfoszlány: "...ezelõtti vizsgáimat hirtelen nem kaphatván elé, ..." és, hogy eredményét "... nem vaktában, hanem elmélet után..." találta. Vajon mi lehet azokban a régi jegyzetekben? Léteznek-e még valahol? Munkám talán legnagyobb jutalma az volt, amikor néhány hét elteltével elõkerültek a Bolyai által "hirtelen" nem talált jegyzetek. Ezekbõl tudtam aztán kihámozni a fenti levélben említett "elméletét". Bolyai János itt azt vizsgálja, hogy az különbség milyen feltételek mellett osztható a pq szorzattal, ha p és q prímszámok, a pedig egy olyan egész szám, amely nem osztható sem p-vel, sem q-val. Arra a következtetésre jut, hogy ez akkor teljesül, ha

   és  

egész számok. Az a = 2 egyszerû esetben aztán rendre kipróbál néhány, ezeket a feltételeket kielégítõ, prímszámot s így eljut a p = 11 és q = 31 számokhoz, vagyis ahhoz az eredményhez, amelyet a levelében is olvashatunk: "2³⁴⁰-1 oszlik -gyel" (részletes bizonyítás az [5]-ben található)!

Bár Bolyai levelében kiemeli, hogy a Fermat-tétel fordítottjának megcáfolására "persze elég egyetlen példa is", mégsem elégszik meg a legkisebb álprímszám, a 341-es felfedezésével. Újabb és újabb példákat keres és talál. Így megszerkeszti a

és a

kongruenciákat is, amibõl arra következtethetünk, hogy ez a probléma sokat foglalkoztatta õt.

Hangsúlyozzuk: a matematika történetében Bolyai János az elsõk között kérdõjelezi meg a Fermat­tétel fordítottjának érvényességét. Õ akkor szerkeszt több ellenpéldát is erre a tételre, amikor a matematikai irodalomban csak elvétve találunk ilyen természetû próbálkozásokat. Bolyai persze ezekrõl nem tud. A számelmélet történetét tárgyaló munkák megemlítik, hogy a 341­es számot egy ismeretlen szerzõ már 1830-ban (tehát Bolyai elõtt) megtalálta, F. Sarrus pedig 1820-ban felírta a kongruenciát. E két cikk birtokában állíthatjuk, hogy szerzõik más módon érték el eredményeiket, mint Bolyai.

De ez az "elmélet" még más meglepetéseket is tartogat. A különbözõ tudományok történetei több olyan esetet följegyeztek már, amikor kevésbé szerencsés tudósok felfedezései életük folyamán nem váltak ismertté, azokat csak kézirataik õrizték meg, s majd hagyatékuk késõbbi átvizsgálása hozta felszínre. Így van ez Bolyai János számelméleti munkáival is. Ha figyelmesen olvassuk el Bolyai módszerét, amellyel példái egy részét megtalálta, azonnal szembetûnik: ez a számelmélet egyik jól ismert tétele, amelyet több mint 40 évvel késõbb J. H. Jeans újból felfedez és 1897-ben közöl nyomtatásban. Emiatt ezt az elõször Bolyai által megtalált nevezetes tételt ma Jeans-tétel néven ismerjük: ha és akkor     [6].

Érdemes összehasonlítani Bolyai bizonyítását Erdõs Pál egyik 1949-ben írt dolgozatával. Ennek egyik részében Erdõs Pál ugyanazt a gondolatmenetet követi, amelyet már Bolyai is alkalmazott vagy 100 évvel azelõtt.

Természetesen sem Jeans 1897-ben, sem Erdõs 1949-ben nem sejtette, hogy e gondolatokat valaki már rég leírta s azok Marosvásárhelyen a Teleki-tékában szunnyadnak.

Több szétszórt lapon, de néhány összefüggõ, hosszabb írásban és apjának írt leveleiben is foglalkozik Bolyai János azzal a tétellel, amely a 4k+1 alakú prímszámok két négyzet összegére való felbontásáról szól. A matematika története ezt a tételt is Fermat-nak tulajdonítja. Mivel Fermat felfedezését egy 1640. december 25-én kelt levelében közli M. Mersennenel (1588-1648), a tételt Fermat karácsonyi tételének is nevezik. Fermat ezt a tételt nemcsak megsejtette, hanem bizonyítására is felvázolt egy módszert. Teljes bizonyítást majd csak L. Euler (1707-1783) talált rá 1754 körül.

Fermat karácsonyi tétele: minden 4k+1 alakú prímszám a tagok sorrendjétõl eltekintve egyértelmûen felírható két egész szám négyzetének összegeként. Például

Bolyai Farkas a Teleki-tékában, ahol "kedvesen lehet elálmodni az alig kiállható kedvetlen életet", olvasta Euler fent említett bizonyítását. Igen hosszúnak (55 olal!) és bonyolultnak találta s ezért arra biztatta fiát, hogy kísérelje meg annak egyszerûbb igazolását. János megfogadta apja tanácsát, s egy levélben, mindössze két oldalon, mindjárt három bizonyítást küld neki. Ami ezek rövidsége mellett leginkább lebilincselõ, hogy Bolyai János bizonyításaiban a komplex egészek (azok az a + ib alakú komplex számok, ahol a és b egész számok) tulajdonságait alkalmazza. Egyik bizonyításában például a Disquisitiones arithmeticae-re hivatkozva abból a tételbõl indul ki, amely szerint, ha p egy 4k + 1 alakú prímszám, akkor létezik olyan x egész szám, hogy

is egész szám. Ezt alakba írva már könnyedén kapja,

hogy   p = a² + b²         [7].

Érdemes itt is elidõzni azon, hogy mennyire újak, eredetiek Bolyai gondolatai. Nos, határozottan állíthatjuk, hogy Bolyai János nemcsak geometriai rendszerét, hanem számelméleti eredményeit is másoktól függetlenül, önállóan fedezte fel.

"Azt megmutatni, hogy bármely 2^p-1 idomú szám prím..."

Ennek igazolására igyekeztem több kollégám segítségével beszerezni mindazokat a múlt századi dolgozatokat, amelyek szerzõi a Bolyai által kutatott témákat tárgyalták, és azokat összehasonlítottam jegyzeteivel. A nyújtott segítséget ezúttal is köszönöm Gyõry Kálmánnak, Kalmár Istvánnak (Debrecen), Czapáry Endrének (Gyõr) és Lõrinczi Józsefnek (Groningen, Hollandia). Ez az összehasonlítás perdöntõnek bizonyult. Bár néhány írásban Bolyai gondolataival közõs ötletek is felvillannak, de a bizonyítások egészének vagy nagy részének a menete minden esetben különbözõ. Így például G. Eisenstein is a komplex egészek segítségével bizonyította be 1844-ben Fermat tételét, de a Bolyaiétól teljesen eltérõ módon. C. Hermite és J. A. Serret bizonyításaikban 1848-ban ugyanabból a tételbõl indulnak ki, akárcsak Bolyai, de a folytatásban már nem a komplex egészeket használják, hanem a lánctörteket hívják segítségül.

Bolyai magányosan, elszigetelten dolgozott. Távol élt a matematikai tudományos élettõl, nem jutottak el hozzá folyóiratok, nem ismerte mindig kortársai felfedezéseit. Ezért fáradozott hosszú éveken át a Ruffini-Abel-tétel bizonyításával is [8]. Különben az volt a szokása, hogy ha írásaiban valahányszor már ismert tételt vagy más ismert eredményt felhasznált, azoknak forrását mindig feltünteti. Sokszor hivatkozik jegyzeteiben, az oldalszámokat is megjelölve, Euler, Lagrange, Vega, Gauss, Bolyai Farkas és mások mûveire.

Elhiszi a kedves olvasó, hogy Bolyai János bûvös négyzetet (ami olyan természetes számokkal képzett négyzetes mátrix, amelynek minden sorában, minden oszlopában és mindkét átlójában lévõ számok összege ugyanaz) is szerkesztett? Pedig így van. Egy nyugodt pillanatában elszórakozott a számokkal. "Lazított" õ is egyszer, de meglehet, hogy nagyon komolyan vette ezt a játékot is.

Úgy tûnik, hogy az a néhány sor, amelyet a bûvös négyzetet tartalmazó kézíratlapra írt Bolyai, csak a befejezését alkotja egyik gondolatának. Nem sikerült megtalálnom az írás feltételezett kezdetét.

Bolyai általánosan, betûkkel szerkeszti meg bûvös négyzetét, amelybõl, ha a betûk helyébe különbözõ értékeket helyettesítünk, vigyázva arra, hogy mindig természetes számokat kapjunk, más-más, ún. szoros, hézagos vagy ismétléses felépítésû bûvös négyzetekhez jutunk.

A természetes számok körében Bolyai Jánosnak sem sikerült - nem sikerülhetett megtalálni a prímszámok képletét. Teljes eredménnyel járt viszont a komplex prímek leírása a komplex egészek gyûrûjében. Ismerte Gauss 1831-ben publikált értekezését, amelyben kifejti a komplex számok aritmetikáját, de õ a Gauss dolgozatában foglaltakat kiegészítette, új gondolatokkal bõvítette. Bolyai is kidolgozta ezek elméletét, amint írja "... a prímek általam régóta az imagináriumokra is kiterjesztett elemi tulajdonságaiból...". Félreérthetetlen utalás arra, hogy a komplex egészek elméletét is másoktól függetlenül, egyedül alkotta meg.

Különbözõ oldalakon pontosan megmutatja, hogy melyek a komplex prímek. Itt csak megjegyezzük, hogy azokat a számokat, amelyek az egész számok és a komplex számok gyûrûjében is (a 4k + 3 alakú prímszámok) abszolút prímeknek, míg azokat amelyek csak a komplex egészek gyûrûjében prímek, tökélyes prímeknek nevezi.

Anélkül, hogy túlságosan belemerülnénk a részletekbe, a következõkben még megemlítünk néhányat azokból a számelméleti problémákból, amelyeket Bolyai János fölvetett.

1. Egy 1855. július 11-én kelt okmány üresen maradt részein még azt írja - hibásan -, hogy ha p prímszám, akkor 2^p-1 is prímszám, de aztán késõbb egy apjához küldött levélben többek között ezt olvashatjuk: "Azt megmutatni, hogy bármely 2^p-1 idomú szám prím mihelyt p prím, ugyanakkor mikor a 2^2m+1-gyel bajlódám, éppen magam is megkisértettem, mert valóban, mint irataim is megmutatják, magam is azon sejtelemben valék, hogy úgy 2^p-1 mindig prím, és így egy historiai fontosságú s nevezetességû eredeti remek találmánya volna a legelsõ oly funkciónak, mely mindig prímet ad: azonban az sem valósul, például
   Azt, hogy 2¹¹-1 összetett szám, már M. Mersenne tudta. Meglepõ, hogy Mersenne észrevételérõl Bolyai nem értesült, de amint levelében olvashatjuk, végül õ egyedül is felismerte azt.
2. Bolyai egyik följegyzésén a következõ kijelentés bizonyítását találjuk: ha a és b relatív prímszámok, akkor 2^a-1 és 2^b-1 is relatív prímszámok.
3. Nyilatkozik Bolyai a különbözõ számrendszerekrõl is. Így érvel a kettes számrendszer hasznossága mellett: "...erõ kíméléséért s egyszerûségért inkább a kettõs szám írásmódot kellene bévenni...".

A számelmélet más kérdéseit is megtaláljuk a hagyaték lapjain, de úgy érzem, az elmondottak alapján is bátran felelhetünk "igen"-nel a címben feltett kérdésre, sõt ennél többet is mondhatunk. Bolyai János nemcsak foglalkozott a számelmélettel, hanem olyan eredményekkel gazdagította azt, amelyekre más matematikusok csak utána, évtizedek múlva gondoltak. Bolyainak ezek az írásai ellentmondanak annak az általánosan elterjedt véleménynek, amely szerint õ mindig mély geometriai szemléletére támaszkodott, eredményei és eredeti gondolatai is mindig geometriai tartalmúak. A cikkünkben tárgyaltak talán elég meggyõzõen mutatják, hogy Bolyai János nem kizárólag a geometriában alkotott nagyot. Kora matematikájának minden ága érdekelte, sokoldalú, eredeti tudós volt. Ha alkalma lett volna eredményeit különbözõ folyóiratokban vagy könyvekben publikálni, akkor ma a nevét nemcsak geometriai, de algebrai és számelméleti szakkönyvekben is gyakran megtalálhatnánk.

Bolyai János a számelmélet más területén is probálkozott

Eddig úgy tudtuk, hogy a magyar matematika a múlt század utolsó negyedéig nem tud felmutatni említésre méltó számelméleti eredményeket. A fentiek és Bolyai Farkas néhány, eddig feldolgozatlan írása azt mutatják, hogy a magyarországi számelméleti kutatások kezdetét jóval elõbbre kell helyeznünk. Ezek valójában a két Bolyai tevékenységével kezdõdnek meg Magyarországon. A kéziratok tanúsága szerint Bolyai Farkast is érdekelték számelméleti kérdések. Nemcsak biztatta fiát különbözõ számelméleti feladatok megoldására, hanem õ is próbálkozott ezekkel, ha nem is olyan sikeresen, mint János. A két Bolyai számelméleti kutatásai azonban eddig nem váltak közkinccsé. Nemcsak hogy Gausshoz, a legkompetensebb bíróhoz nem jutottak el, de rajtuk kívül senki más nem tudott ezekrõl, immár 140 éve. A Teleki-téka polcain hevertek napjainkig. Feltárva azokat elmondhatjuk, hogy az elsõ magyar matematikus, aki a számelmélet terén jelentõs eredményeket ért el: Bolyai János.

A fentiekben Bolyai János vizsgálódásairól számoltunk be. Közben mindegyre felmerült Bolyai Farkas neve is. Írásunk is azt példázza, hogy ez a két név szorosan összefonódik. Valóban lehet-e Bolyai Farkasra emlékezni anélkül, hogy Jánosra, a fiúra ne gondolnánk, és írhatunk-e Jánosról úgy, hogy közben az apáról megfeledkezünk? Németh László szerint: "Ezt a két embert... nemcsak példátlan heves apa-fiú viszony s az azonos és egymásra utaló foglalkozás kapcsolta össze, hanem egy és ugyanazon probléma, az emberi agyban felmerültek közt tán a legmegdöbbentõbb, megoldásában a legcsodálatosabb".

Arról, hogy Bolyai János életének melyik szakaszában foglalkozott számelmélettel, már P. Stäckelnél olvashatunk. Szerinte Farkas már a 30-as években biztatta Jánost, hogy próbálkozzék e kérdéskör vizsgálatával, s õ mint ifjú behatóan tanulmányozta a Disquisitiones arithmeticae-t. Bolyai János tehát már egészen korán találkozott a számelmélettel, s azt egész életén át mûvelte. Azon kevés kéziratlap közül, amelyen keltezés is van, az egyik (1842. április 24-én Domáldra címzett levélre írt sorok) például arról árulkodik, hogy õt a "domáldi remeteség" idején is foglalkoztatták a számelmélet problémái. A fentiekben leírt eredményeit azonban az 1850-es évek közepén érte el. Legalábbis ezeket fõképpen az 1854-55-ös években keletkezett levelekben találhatjuk meg [5], [7]. Ekkor Bolyai János már elég idõs volt. A számelmélet terén végzett munkái is beszédes cáfolatai néhány szerzõ véleményének, akik szerint János alkotóképessége már korán kimerült, vagy hogy lanyhult volna érdeklõdése a matematikai kérdések iránt. Példáink is bizonyítják, hogy éppen ellenkezõleg, Bolyai János utolsó éveiben is tiszta fejjel gondolkozott matematikai problémákon, a matematikai kutatás örömét akkor sem hagyta abba.

Reméljük, hogy írásunk szerény tisztelgés Bolyai János születésének közeledõ 200. évfordulója elõtt, aláhúzván azt a Benkõ Samu-i igazságot, amely szerint Bolyai "élete végéig megõrizte a gondolkodás örömét".

IRODALOM

[1] Stäckel, Paul: Bolyai Farkas és Bolyai János geometriai vizsgálatai, Budapest, 1914.
[2] Dávid Lajos: A két Bolyai élete és munkássága, Gondolat, Budapest, 1979.
[3] Alexits György: Bolyai János világa, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1977.
[4] Weszely Tibor: Bolyai János matematikai munkássága, Kriterion Könyvkiadó, Bukarest, 1981.
[5] Kiss Elemér: Fermat's theorem in János Bolyai's manuscripts, Mathematica Pannonica, Leoben-Miskolc-Triest, 6, 237-242 (1995).
[6] Sierpinski, Waclaw: Elementary Theory of Numbers, Warszawa, 1964.
[7] Kiss Elemér: Bolyai János vizsgálatai a 4m+1 alakú prímszámok két négyzet összegére való felbontásáról, Polygon, Szeged, 1996/2 (sajtó alatt).
[8] Kiss Elemér: A "Bolyai-ládák'' legújabb titkai, Természet Világa, 125, 405-408 (1994)

Természettudományi és tudománytörténeti dokumentumok