MI AZ ERŐ?
A válasz nem könnyű.
   Vegyük elő Feynman Mai fizika I. kötetét. (Műszaki Kiadó, 1970. A 12. fejezet foglalkozik az erő-fogalommal. Itt elemzi a newtoni erőt a következőképpen Ha azt észleljük, hogy valamely test nem egyenesvonalú pályán és nem állandó sebességgel halad, akkor azt mondhatjuk, hogy a testre erő hat. ... Newton fenti állításai az erő legpontosabb definiciójának tűnnek ... Ennek ellenére ez (is teljesen haszontalan, mivel egy definició alapján semmiféle jóslásba nem lehet bocsátkozni. Akár egész nap ülhetünk a karosszékben és tetszés szerint definiálhatunk szavakat. ... Az olvasó ellenvetést tehet, mondván nem szeretem az ilyen pontatlanságot, mindent pontosan szeretnék definiálni....Pedig az Olvasó 
hiába ragaszkodik az erő pontos definiciójához, sohasem fogja megkapni! 
(Érdemes az egész fejezetet elolvasni.
Magunkra vagyunk tehát utalva. Úgy gondolom, eléggé szabad kezünk van. Inkább abban lehetne megállapodni, mi nem használható erő-ként. Kizárásos alapon az marad, hogy erőként szinte bármi definiálható, ami 
a folyamatsebességnek homogén monoton egyértelmű függvénye. 
Ha eldöntjük, hogy mit értünk folyamatsebességen és mit értünk a nyugalmi állapoton, már van fogódzó. Előny, ha találunk valamit (hatás, energia, entrópia stb amiből egy erőként használható fogalom származtatható. 
A mozgások és erők fogalmának a története nem érdektelen. Az ókortól napjainkig négy felvonásról és három forradalmi szemléletváltásról beszélhetünk. Most a negyedik korszaknál tartunk. Az első az ókori filozófia erő-fogalma. (Olvasmánynak ajánlható Simonyi Károly A fizika kultúrtörténete című kitűnő könyve.
I. Arisztotelész
   Az ókor filozófusa szerint a mozgás térbeli esemény, lényeges jellemzője a sebesség. De miért mozog, ami mozog, mi a mozgás célja, ki vagy mi a mozgatója? Kézenfekvő az értelmezés a mozgás okozója valamilyen személy, élőlény, természetes szándék. A nyilat ember lövi ki, a morzsát a hangya mozgatja. Valószínűleg a természeti jelenségekkel járó mozgásokat is valamilyen élőlény, szellem vagy isten hozza létre. A szelet emberfeletti lények fújják, a tűzhányó az alvilág kovácsának a kohója, a tenger haragvó istene korbácsolja a tengert, a villám Zeusz nyila. Az égitestek szabályos, tökéletes mozgatása tökéletes lények, azaz istenek feladata. A hajtó erő tehát valamilyen akarat, szándék, cél. 
Ez az akarat székelhet élettelen tárgyakban is a kő azért esik lefelé, mert súlyos, és a súlyos testeknek lenn van a helyük, a tűz, a füst, a meleg levegő konnyű, a könnyű
- 2 -
anyagoknak pedig fönt van a helyük és minden tárgy a maga helyére törekszik.
Ez a mozgató szándék aztán valamilyen erőfeszítésben realizálódik. Mennél nagyobb ez az erőfeszítés, annál nagyobb a létrehozott sebesség.
Összefoglalva a dinamika ókori szemléletének legfontosabb pontjait
(1  Minden mozgás alapvető kritériuma a sebesség.   
(2  Az égi és a földi mozgások eltérő jellegűek.  
(3  A mozgásnak nem oka, hanem célja van.
(4  A mozgás (sebesség fenntartásához erőre van szükség.
(5  A sebesség arányos a mozgató erővel             
Az ókori természetszemléletek az idők során fokozatosan veszítettek meggyőző erejükből. Az istenek visszavonultak a mitológiába, egyre ritkábban avatkoztak be az égi és földi jelenségekbe. 
II. Newton
 A  XVII  században forradalmian új szemlélet diadalmaskodott. Newton 1683-ban írt művében (Philosophiae naturalis principia mathematica elsősorban Kepler és Galilei eredményeire alapozva egy új mechanikát teremtett  A newtoni dinamika forradalmian ellentétes  az arisztotelészi szemlélettel. A legfontosabb pontokat összefoglalva
(1  A mozgás alapvető kritériuma a sebesség megváltozása, a gyorsulás.           
      A nyugalom és a változatlan sebesség  között nincs különbség.
(2  Az égi és földi mozgások között nincs alapvetően különbség. 
(3  A gyorsulásnak nem célja, hanem oka van. 
(4  Nem a sebesség fenntartásához, hanem megváltoztatásához, a gyorsításhoz van szükség (gyorsító erőre.
(5  A gyorsulás arányos ( az impulzus változása egyenlő az azt létrehozó erővel.
Gyorsulás  x  Tömeg   Erő          
 ( Impuzus változás sebessége  külső erő 
Ez az összefüggés független az erő fajtájától, a kölcsönhatás típusától. Négy alapvető kölcsönhatás ismert a gravitáció, az elektromágneses (középerős, az erős (szín- és a gyenge kölcsönhatás. A mozgás és az erőtér kapcsolatát a megfelelő töltés képviseli. Minden testnek van tömege (a súly-erő töltése, de az elektromos tér csak arra a testre hat, aminek elektromos töltése van. A nukleonoknak, kvarkoknak van tömegük, van erős és gyenge töltésük, de a neutronnak nincs elektromos töltése. Az elektronnak van tömege, elektromos és gyenge töltése de nincs erős töltése. 

- 3 -
A neutrínónak van gyenge töltése de nincs sem erős, sem elektromos töltése. Egyes anyagfajták lehetnek tehát egy vagy több erőtérrel szemben semlegesek. Mint látjuk,  
a mikrofizikának külön világa van, itt ez nem témánk. (Olvasmánynak ajánlható Horváth Dezső A Standard Modell mi az és mire jó. Természet Világa 2000/III. különszám.De tárjünk vissza a makrovilághoz. Mint minden elméletnek, a newtoni mechanikának is megvan a maga érvényességi tartománya, megvannak a korlátai. Némi erőlködés árán ideig óráig meg lehet menteni a newtoni szemléletet. Itt van például egy furcsa mechanikai erő-fajta a kényszer-erő. Newtoni szemlélettel, ha gyorsulás (például kanyar van, erőnek is kell lennie. Ez az erő azonban egy olyan erő, aminek a nagysága a megengedett pálya adott helyén nemcsak a pálya geometriájától, hanem a mozgó test impulzusától is függ, mindig úgy, hogy éppen mindig kompenzáljon.. Fizikailag ez az erő rendszerint valami deformáció a ringlispil kötelének a megfeszülése, a kanyarban a vonatkerék és a sín összenyomódása ébresztette erőhatás, nemcsak a görbülettől, hanem a (relatív impulzustól is függ. Dehát a pálya tiszta geometria! Van még egy másik különös erő-fogalom, a surlódási erő. Egyszerű formájában Newton törvénye csak olyan mozgásokra vonatkozik, ahol a surlódás elhanyagolható, a newtoni erő külső erő. A surlódás hatását speciális, a környezetéhez mért relatív sebességgel mindig ellentétes irányú és azzal növekvő nagyságú surlódó erővel lehet számításba venni. Surlódó, de egyenletes sebességű mozgás esetén a mozgató és a surlódó erő egymást mindig kompenzálják (?!, ezért nincs gyorsulás. Minden szemlélet tiltakozik azonban az ellen, hogy nyugalomban levőnek tekintsük az egyenletes sebességgel robogó vonatot. Itt a folyamat már a vonat és a környezete közötti impulzus-átadás. A nyugalom állapota nem a zérus gyorsulás, hanem a zérus sebesség-különbség, ez utóbbi, vagy ennek monoton homogén függvénye lehetne tekinthető a surlódás hajtóerejének. A newtoni törvényt itt erőltetett módon terjesztették ki olyan területre (disszipáció, termodinamika, belső erők, ahol már más törvényszerűségek uralkodnak. De hiába a sok erőfeszítés, a newtoni erő-fogalom sok fontos jelenségnél menthetetlenül megbukik. Az anyagi világ fontos részét képezik a sok részecskéből álló, hőmérséklettel, nyomással, kémiai potenciálokkal rendelkező termodinamikai rendszerek. Ezeknél újfajta folyamat-sebességek figyelhetők meg, leírásukra újfajta nyugalmi állapot-definicióra (a termodinamikai egyensúly és  újfajta, belső  erők bevezetésére van szükség. 

- 4 -
III. Onsager Irreverzibilis Termodinamikája
          Jelentős szemléletváltást hozott Lars Onsager (1931. Ő a termodinamikai rendszerekben végbemenő folyamatok egységes erő-törvényeit próbálta megfogalmazni. Már a nyugalmi állapot sem ugyanaz. Míg az ókori szemléletben a zérus sebesség, a newtoni mechanikánál a zérus gyorsulás, a termodinamikában az egyensúly a nyugalom. Egyensúlyban bizonyos tulajdonságok (a termodinamikai potenciálok kiegyenlítődnek. Ha valamelyik potenciál (hőmérséklet, nyomás, a kémiai vagy elektromos potenciálok különbsége vagy gradiense jelenik meg, megindul a megfelelő folyamat, fluxus, átadás vagy átalakulás. Ezeknek a potenciáloknak (az entrópiának a konzervatív extenzitások szerinti deriváltjainak a különbségeit tekinti ez az elmélet a folyamatok hajtóerőinek. 
A folyamatsebességek és ezek között a hajtóerők között sok esetben jó közelítéssel  lineáris törvények figyelhetők meg. A kereszthatás-együtthatók megfigyelt szimmetriáját Onsager általános törvényként deklarálta (1968, kémiai Nobel-díj.
Az irreverzibilis termodinamika szemléletének sarkalatos pontjai így foglalhatók össze
(1  A nyugalmi állapot az egyensúly.
(2  A folyamatsebességek (J a konzervatív mennyiségek (nettó típusú  transzportjai.
(3  Az erők (X a potenciál-mennyiségek (1/T, -/T,  stb. különbségei vagy gradiensei.
(4  Egyensúlyban  valamennyi erő értéke zérus, minden  folyamatsebesség eltűnik. 
(5  Ha valamilyen erő (például hőmérséklet-különbség lép fel, folyamat indul meg.
(6  A folyamatsebességek az erők lineáris függvényei. 
(Ha mégsem, az egyensúlyhoz elég közel minden sebességi törvény lineáris
Ji    k Lik . Xk 
(7  A vezetési együttható-matrix szimmetrikus (Reciprocitási Relációk és pozitív                               
Lik   Lki
Az erők tehát az entropikus potenciálok (Fi  különbségei (illetve gradiensei
Xi     Fi  ( vagy grad Fi 
Ji    k Lik . Xk
Egyensúlyban                                 FI    FII    X    0
Például                                            TI    TII    vagy   1/TI    1/TII
és                                                    I    II    vagy    (/TI      (/TII  
Mindkét változat teljesíti a homogén monotonitás feltételét. 
De nem csak ez!

- 5 -
Tekinthető erőnek például T valamilyen hatványa, akár a negyedik hatvány (gondoljunk a 
Stefan-Boltzmann törvényre                     J     . (TI4  (TII4
Ez a (T-vel nemlineáris erőtörvény lineáris lesz, ha T4 potenciállal definiáljuk az erőt. 
A Fourier-törvény csak látszólag lineáris  T vel, de ha az lenne, nemlineáris lenne (1/T-vel. Az igazság az, hogy egyikkel sem lineáris, mert a hővezetési együttható egyik esetben sem hőfok-független, hanem T valamilyen hatványával arányos. Még  cifrább a helyzet, ha valamilyen energiaküszöb is van (párolgás, kémiai átalakulás, ekkor az energia-áram együtthatója még egy exponenciális hőfokfüggést is tartalmaz. Még nem is beszéltünk az anyag mozgásairól, a diffúzió, effúzió, fázisátmenet, kémiai átalakulás, elektródfolyamat, koncentráció és aktivitás, fugacitás, affinitás,  ahány annyiféle.  Itt a kémiai potenciál megkerülhetetlen. Csak egy példa, az
A  +  2B    C 
kémiai reakció onsageri hajtóereje az affinitás
X    A + 2.B   C
Az onsageri lineáris reláció              J    L . X
A  jólismert, tapasztalattal alátámasztott reakciósebességi egyenlet ezzel szemben
J    L . exp ( (A + 2B/RT  exp ( C/RT    
Baj van tehát a  J  L.X  formával, ugyanis (bár a homogenitás stimmel, 
 J  és  X  között nincs egyértelmű összefüggés!  
Nemcsak az erősen nemlineáris kémiai reakcióknál van probléma, hanem a látszólag lineáris Fick-törvény is velejéig nemlineáris. Az onsageri erő-fogalom tehát már nem alkalmas a nem lineáris, nem-ohmikus dinamikai rendszerek leírására. Az onsageri Irreverzibilis Termodinamika erő-fogalma valahogyan nem passzol egy sereg fontos folyamattípus erő-törvényébe. Ilyenek
az elektródkinetika,
a diffúzió Fick-törvénye,
a hősugárzás törvénye,
a kémiai reakciók nagy csoportja.
Az elmélet nem tud és nem is szándékozik foglalkozni az egyensúlyok dinamikai jelenségeivel. De nem tekinthető átfogó elméletnek az irreverzibilis jelenségek vonatkozásában sem. De választhatunk más potenciált is. Alkalmas bármilyen mennyiség, ami az F termodinamikai potenciálok  (1/T, /T  monoton egyértelmű függvénye. Például 
Fn , exp (F/R     és még sok más.  
Mindezeknek a különbségei (gradiensei akár át is vehetnék az erő szerepét.
- 6 -
IV. Termokinetika
      Ez a legújabb elmélet nem kisebb szemléletváltozást hozott, mint a newtoni, majd az onsageri forradalom. Más a folyamat, más a nyugalmi állapot, más a potenciál, más az erő definiciója  és végül más az erő-törvény is.
Nem kitalálni, csak felismerni kell, hogy a termodinamikai folyamatok alap-elemei az egymásnak időtükrözött reverz abszolut folyamat-párok (j és j. Az onsageri (nettó fluxus (J mind  két reverz abszolut fluxus különbségei. 
A Termokinetikának nevezett elmélet szemlélete a következőkben foglalható össze
(1  Minden onsageri, nettó folyamat (J  két  abszolut ellenfolyamat (j különbsége 
Ji  ji  ji 
(2  Az abszolut folyamatsebességek egyensúlyban kompenzáltak, de nem tűnnek el.
ji(egyens     ji(egyens
(3  Az abszolut folyamatsebességek ( ji  a potenciál-mennyiségek (Fi függvényei. 
 Ezek a j(F függvények nemlineárisok, logaritmus-függvény jellegűek.
d ln ji     k Qik . d Fk   
(4  A vezetőképességek (Lik  a  j (F sebességi relációk parciális deriváltjai
 Lik Lki 
(5  Az egyensúlyi és a nem egyensúlyi dinamikát ugyanazok a j(F relációk írják le. 
(6  A nemlineáris Termokinetika határesetként tartalmazza a lineáris IT elméletét is.  
(7  A  j (F  sebességi relációk időtükrüzés-szimmetrikusak.
        Egyensúlyban nem az abszolut folyamatsebességek tűnnek el csak azok különbségei (a nettó folyamatsebességek. Egy példa a gáz nyomása nem más, mint az abszolut impulzus-áramsűrűség. Ha a rendszer (a tömegközéppont nyugalomban van, ezek minden térirányban kompenzáltak, bár nyomás akkor is van.             
A megváltozott szemléletre példa az onsageri szemlélet szerint ha nincs erő, nincs mozgás. A termokinetika azt a tényt fogalmazza meg, hogy mindig van a mozgásnak, folyamatnak olyan része, ami az erő ellen halad. Ha van kémiai termék, van ellen-reakció is az affinitással ellentétes irányban, elektródon az anionok egy része a katód felé áramlik, sőt, egy fém-huzalban az elektronok egy része a térerővel ellentétes irányban áramlik. Nem könnyű ehhez a szemlélethez hozzászokni.
De nézzük meg, mi a helyzet a hajtóerővel?. Legyenek a megkötések

- 7 -
    a./  Legyen az erő akkor zérus, ha az abszolut sebesség zérus (homogén függvény
    b./  Legyen az erő monoton függvénye a folyamatsebességnek. 
    c./  Legyen ráadásul egyensúlyban azok különbsége (gradiense is zérus.
Ezeken a megkötéseken  túl meglehetősen szabad a kezünk.
Tudjuk, hogy a termodinamikai áramokat atomi részecskék (beleértve fotonokat, fononokat stb. is áramai (jz hordozzák. Tudjuk másrészt, hogy a részecskeszám és az energia (és ebbe a kategóriába esnek az erők is között exponenciális jellegű az összefüggés.  Az Ohm-törvénytől a hővezetésen , diffúzión át a kémiai folyamatokig valamennyi jelenség leírására alkalmas erő-törvény a következő
 R.d ln jz    k Qzk .dFk
ahol Qzk  alakjában itt is fontos szerep jut a töltés-fogalomnak.
Mellékesen a lineáris közelítésben, J  j  dj  és  X   F  dF behelyettesítésből új érdekes megállapítás adódik  a fenomenológikus együtthatók a hordozók abszolut fluxusainak (forgalmának és a töltéseknek a szorzatai (illetve ilyen szorzatok összegei
L      Q . j 
Nézzük meg, itt mi a nyugalom, a mozgás-mentes állapot?
jz  részecske-fluxusok akkor tűnnek el, ha vagy a mogékonyságuk, vagy a sűrűségük zérus
jz    0     ha    T   0   vagy   C    0   
Ez megvalósul, ha      exp  Q/Rd(1/T      exp ( Q/RT   exp (   0,
vagy                          exp n.RT/R. d(1/T    Tn   0      
(tehát, akár T  0 , akár  1/T   
vagy ha                      exp (/RT    exp (o/RT .C    0
Ez kielégíti azt a feltételt is,  hogy egyensúlyban 
ha        T  0  akkor    exp (Q/RT  0   és  Tn   0
és ha      0   akkor    exp (/RT  0
(A figyelmes olvasó azt is észreveheti, hogy itt Q reverz szimmetriája is benne van, ami 
a fizika egy általános, bár keveset emlegetett törvénye.A példákat lehetne folytatni. 
Jelöljük  Y-al ezt a fajta erő (illetve potenciál- típust. Térbeli fluxus esetén
Yi      exp ( Fi / R                     
Nettó fluxus hajtóereje    Yi       .grad Yi      (.Yi / R . grad Fi    (közelítés!
Onsageri erő                                  Xi     grad Fi

- 8 -
Itt érhető tetten az alapvető közelítés, amikor véges különbség helyett a folytonos függvényre térünk át. (A végességet a véges  képviseli. Ez a közelítés hozza be a végtelen hatásterjedés problémájának a vírusfertőzését, ami sok évtizede okoz (teljesen fölösleges fejtöréseket. 
    Fölvetődhet a kérdés nem lenne egyszerűbb megmaradni az onsageri erőnél (F és 
F potenciált deklarálni az abszolut folyamatsebességek hajtóerejének? Ez sajnos okozhat problémát, például a homogenitás követelményénél. Ha például F-nek 1/T -t választjuk (entrópia-reprezentáció, az adódik, hogy  ha T  0 , j  0 de  F  1/T  , vagy 
C  0 esetében  j  0 , de  /T     vagyis F  nem homogén függvénye j-nek.   
Az elmondottak értelmében a folyamatok kettős hierarchiája (pl Fick I és Fick II. 
háromra bővül ( 0,  I. és II.. Szemléltetésül
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                    Folyamatsebességek                          Hajtóerők
                                   pontos           közelítés (         pontos          közelítés (
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
0.  Abszolut fluxusok     j  és    j                                  Y      exp (F/R
I.   Nettó fluxusok      J    j   j        .grad j          Y     (.Y/R grad F.  
II.  Időbeni változás   dC/dt   div J     . divgrad j     (Y   .Y/R.divgrad F
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zárszó.
      Azt hittük sokáig, hogy az egyszerű onsageri lineáris erő-törvény általános és végleges, a kérdés le van zárva. De mindig tudtuk, hogy a valóság nem lineáris. Azt is láthattuk volna, ha be nem hunyjuk a szemünket, hogy a nemlinearitás logaritmus-jellegű, a kiterjesztést ebben az irányban kell(ett volna elindítanunk. Ebben a vezető szerepet olyan kémikusoknak kellett volna elvállalni, akik úgy ismerik a fizikai kémiai folyamatokat, ahogyan a hal a víz mozgását. És nem azoknak, akik csak hallomásból tudnak egyet-mást a vízről, gázról, kémiai átalakulásokról (Bár más területen tiszteletreméltó tájékozottsággal dicsekedhetnek. Ebben a helyzetben e sorok íróját is súlyos mulasztás terheli és rászolgált a vezeklésre. Kérem az olvasót, ne higyjen senkinek (e sorok írójának sem!, csak gondolkozzék.