This preprint may be copied and used provided that
this notice and the authorship details remain attached.
|
Copyright David G. Green 1993. Revised 1995. This preprint may be copied and used provided that this notice and the authorship details remain attached. |
| Mik a fraktálok? | Az alábbi cikk angol nyelvû eredetije itt található. |
Milyen hosszú Nagy-Britannia partvonala? Elsô pillantásra ez a kérdés triviálisnak tûnik. Egy térkép és egy vonalzó segítségével bárki rövid idôn belül meg tudná mondani az eredményt. A gond csak az, hogy egy nagyobb léptékû térképpel megismételve a mérést, az elôzônél nagyobb eredményt kapnánk (1. ábra). Ha lemennénk a partra és ott végeznénk el a mérést, akkor egy még nagyobb érték adódna. Kiderül, hogy minél finomabb skálán végezzük a mérést, annál nagyobb eredményt kapunk, és ennek a növekedésnek nem lesz határa. Így, ha az (elméleti) mérésnél a felbontás végtelen kicsi lenne, akkor a becsült hossz végtelen naggyá válna. Ezt az összefüggést a mért hosszúság és a felbontás között elsôként Lewis Fry Richardson vette elôször észre (ld. Mandelbrot, 1993).
Ha a mérésekrôl beszélünk, akkor a felbontás jellemezhetô meghatározott hosszúságú mérôrudakkal: minél finomabb a felbontás, annál rövidebb a rúd. Így a görbét úgy is tekinthetjük, mintha egymáshoz kapcsolódó, azonos hosszúságú rudakból állana (1. ábra). Világos, hogy az így kapott képen nem látszanak azok a részletek, amelyek kisebbek, mint a rudak. Természetesen senki sem úgy készíti a térképet, hogy ténylegesen mérôrudakat fektet a talajra, de ez az analógia jól leírja azt a problémát, amit a légifotók véges felbontása, a felszíni mérôpontok távolsága vagy a rajzolásnál használt toll vastagsága okoz. Ugyancsak hasonló a probléma a biológiai mérések pontosságánál vagy a mintavételi gyakoriságánál.
1. ábra: A partvonal L hosszának becslése S hosszúságú
mérôrudakkal
A hossz- (illetve a terület-)függés komoly problémát okoz a biológusoknak. Például a nagyon szabálytalan partvonalú tavaknál a sekély vizek aránya nagy a teljes vízfelszínhez képest, és így gazdagabb az állat- és növényviláguk, mint a szabályos partvonalúaké. A különbözô felbontások miatt igen nehéz olyan jellemzést találni a partvonalak élôvilágának leírására, amelyben a teljes vízfelszínt és a partvonal hosszát használják fel.
2. ábra: Keresztrajzolás egyszerû iterációval
A különbözô felbontások által okozott
problémák leírására javasolta Mandelbrot
a fraktálok használatát. Az ô meghatározása
szerint minden olyan görbe vagy felszín fraktál, amely
a felbontástól függetlenül többé-kevésbé
ugyanúgy fest. Ez a tulajdonság (az önhasonlóság)
azt jelenti, hogy a görbe bármely részét felnagyítva
az eredetivel azonos görbét kapunk. Így az egyik felbontásról
a másikra való átmenetet egy iterációs
eljárással is jellemezhetjük (pl. ld. a 2. ábrát).
Igen fontos különbség a fraktálgörbék és a természetben elôforduló görbék között az, hogy a fraktálok sehol sem differenciálhatók. Ennek oka az, hogy bár a fraktálok folytonosak, mindenütt "hoporcsosak". A fraktálokat úgy írhatjuk le, hogy megvizsgáljuk, hogyan változnak különbözô felbontásoknál.
A fraktáldimenzió segítségével meghatározható, mennyire szabálytalan egy fraktál görbe. Általában a vonalakat egydimenziósnak, a felületeket kétdimenziósnak, a testeket pedig háromdimenziósnak tartjuk. Azonban egy nagyon szabálytalan görbe ide-oda vándorolhat a felületen, olyannyira, hogy szinte teljesen ki is töltheti azt. A nagyon tekervényes felület, mint pl. egy fa lombozata, vagy a tüdô belsô felülete majdhogynem háromdimenziós lehet. Így a szabálytalanságra, hepehupásságra úgy tekinthetünk, mint a dimenzió növelésére: egy szabálytalan görbe dimenziója 1 és 2 között lesz, míg egy szabálytalan felületé 2 és 3 közé esik. Egy fraktálgörbe dimenziója olyan szám, amely azt jellemzi, hogy a görbe két kiválasztott pontja között hogyan nô a távolság, midôn növeljük a felbontást. Tehát amíg a vonal és a felület topológiai dimenziója mindig 1, illetve 2, addig a fraktáldimenzió lehet egy ezek közti érték is . A D fraktáldimenzió egyik definíciója
log (L2/L1)
D= -------------- ... (1)
log (S1/S2)
ahol L1 és L2 a görbén mért hosszúságok, S1 és S2 pedig a használt mérték nagysága (azaz a felbontás).
Az 1. ábrán látható partvonalnál S=1, ill. S=1/2 esetben L=7, ill. L=20. Így
D= log(20/7)/log(2)=1.51
Ugyanígy, ha S=1-rôl S=2-re térünk át, egy másik, kissé alacsonyabb fraktáldimenziót kapunk (D=1.22), míg S=2-rôl S=3-ra térve D körülbelül 1.13 lesz.
Fontos tisztában lennünk azzal, hogy a fraktáldimenzió fentebb bemutatott becslése csak bizonyos fajta adatoknál használható. Tegyük fel, hogy pl. egy korallzátony felületét akarjuk megmérni. Két különbözô módszert használhatunk. Elsôként elkezdhetjük mérni a távolságot a zátony két pontja között, úgy, hogy közben változtatgatjuk a felbontást. Ekkor a fraktáldimenziót az (1) egyenlet segítségével számolhatjuk ki. De ha például a zátony egy metszetét vizsgáljuk, és a zátony magasságát mérjük a talapzathoz képest a metszet mentén, akkor a fraktáldimenziót már nem számíthatjuk ki az elôzô módszerrel. A magasságadatok segítségével a fraktáldimenzió a spektrum vagy variogram segítségével állapítható meg. Kiderül, hogyha D a fraktáldimenzió, w a frekvencia, és S(w) w spektruma, akkor
S(w) ~ k w^5 - 2D ... (2)
Azzal is tisztában kell lennünk, hogy az igazi fraktál csak idealizáció. A valós világban elôforduló görbék, illetve felületek nem valódi fraktálok; olyan folyamatok hozták létre ôket, amelyek csak egy meghatározott mérettartományban fekvô alakzatokat képesek kialakítani. Így D változhat a felbontással, mint azt a fenti ábrán is láttuk. A változás segíthet abban, hogy jellemezhessük a létrehozásban közremûködô folyamatokat. Mandelbrot ezeket a különbözô keltési folyamatokhoz tartozó mérettartományokban jelentkezô töréseket átmeneti zónáknak nevezte.
Az önhasonlóság azt jelenti, hogyha egy fraktált kicsinyítünk vagy nagyítunk, a képe ettôl nem változik. Ebbôl az következik, hogy a fraktálok általában úgy alakulnak ki, hogy egy egyszerû mintázat állandóan ismétlôdik kisebb és kisebb mérettartományokban (ld. pl. a 2. ábrát). A fraktálokat létrehozó eljárások egyik fontos csoportját alkotják az ún. véletlen iterációs algoritmusok. Ezek az eljárások ahhoz hasonlítanak, amikor véletlenszerûen bepöttyözzük a papírt egy tollal. Azonban ahelyett, hogy a tollat teljesen összevissza mozgatnánk, a mozgást bizonyos elôre meghatározott szabályok irányítják; minden alkalommal ezek közül a szabályok közül választunk ki véletlenszerûen egyet (minden szabályhoz meghatározott kiválasztási valószínûség tartozik), és az adott lépésben a kiválasztott szabály irányítja a tollat. Ezeket a szabályokat ún. affin transzformációkkal definiálhatjuk. Egy két dimenziós A affin transzformáció nem más, mint egy olyan függvény, amelyben a mérteváltoztatások, eltolások és forgatások szerepelnek. Általános alakja két változóra a következô:
Ax(x) = ax + by + e ...(3) Ay(y) = cx + dy + f
Az 1. táblázatban a páfrányhoz és fûhöz hasonló képek algoritmusainak transzformációihoz való információk találhatók. A táblázatban megtalálható minden transzformációhoz a szükséges a, b, c, d, e és f paraméter. A p valószínûség azt határozza meg, milyen gyakran használandó az adott transzformáció.
3. ábra: Egy fraktális páfrány
1. táblázat: Néhány egyszerû
fraktál affin transzformációi
------------------------------------------------------
Paraméter* a b c d e f p
------------------------------------------------------
Páfrány 0.0 0.0 0.0 0.16 0.0 0.0 0.10
0.2 -0.26 0.23 0.22 0.0 1.6 0.08
-0.15 0.28 0.26 0.24 0.0 0.44 0.08
0.75 0.04 -0.04 0.85 0.0 1.6 0.74
Fû 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 0.15
0.02 -0.28 0.15 0.2 0.0 1.5 0.10
0.02 0.28 0.15 0.2 0.0 1.5 0.10
0.75 0.0 0.0 0.5 0.0 4.6 0.65
------------------------------------------------------
* Ld. a 3. egyenletet.
A Brown-mozgás a 2 dimenziós fraktált elôállító eljárások egyik példája. Mikroszkopikus részecskéknél fordul elô a vízmolekulák lökdösôdésének eredményeképp (amennyiben vizes a közeg). Az ilyen részecskék pályája egy olyan "véletlen bolyongás", amikor mind az irány, mind a távolság egyenletes eloszlású véletlenszerû változó. Azaz ha a részecske a sík egyik meghatározott pontjából a másikba akar jutni, akkor a pályája szinte biztos, hogy kitölti az egész síkot, mielôtt célba érne.
A Brown-mozgás hatása a kristályok növekedésénél is megfigyelhetô. A 4. ábrán látható, hogy milyen alakzatok alakulnak ki lehulló részecskékbôl, ha az oldalirányú sebesség (h), illetve a megtapadási valószínûség (p) változik. Az ábrák a következô értékeknek felelnek meg: (a) h=1, p=0; (b) h=1, p=1; (c) h=10, p=0; (d) h=10, p=1. A megtapadt részecskék (ennek az ábrán a p=1 felel meg) fa-, illetve mohaszerû alakzatot hoznak létre. Ezt a tulajdonságot fel is használják rajzfilmeknél a növények, illetve a tájkép megrajzolásához.
4. ábra: Zuhanó részecskék Brown-mozgásából létrejövô alakzatok
A tüdônek az a képessége, hogy mennyi oxigént tud felvenni a belélegzett levegôbôl, arányos a rendelkezésre álló felülettel. Azaz egy adott tüdôtérfogat esetén igen jó, ha a felszínt megnöveljük. A tüdô szöveteinek belsô felületei ezért igen magas fraktáldimenziójúak.
További, a fraktálokkal kapcsolatos információk találhatók Mandelbrotnál (1975) és Barnsley-nél (1988).
Érdemes megnézni az NCSA The Fractal Microscope (A fraktálmikroszkóp) címû on-line bemutatóját, valamint az ugyanott levô Fraktálgeometria és Irodalomjegyzék részeket.
Egy alakzat fraktáldimenzióját kiszámolhatjuk a fractop szolgáltatás igénybevételével. Ehhez Netscape v.2-re, vagy más olyan böngészôre van szükség, amivel fájlokat küldhetünk más WWW-szerverre.
A fraktálokról és más hasonló dolgokról találhatunk információkat a Complex Systems Network-ön. További on-line információkhoz kereshetünk ugrópontokat a Complex Systems Virtual Library-ben.
1. Használjuk a FRACINT programot fraktálok rajzolásához.
(a) Vessünk egy pillantást a Mandelbrot-halmazra (ez tûnik fel a program indításakor). Vizsgáljuk meg az alakzat keskeny "parti sávját", ami a középsô régiót a sík külsô részeitôl elválasztja.
(b) Próbáljunk meg egy olyan részt találni, amely úgy néz ki, mint maga a teljes halmaz. Használjuk a nagyítás ( zoom ) lehetôségét, és nézzük meg jobban ezt a részt. Még mindig emlékeztet a teljes halmazra? Találunk-e még kisebb részeket, amik szintén emlékeztetnek az eredetire?
2. Válasszuk az IFS opciót. Nézzünk meg néhány ábrát (pl. a páfrányt; angolul fern ).
Copyright David E. Green,
Environmental and Information Sciences, Charles Sturt University