Forrás: Középiskolai Mathematikai és Fizikai Lapok II.éf. 1. szám

Az atomok világában.

Második közlemény.

A molekulák méreteinek és számának meghatározása a XIX. század második felének egyik legnagyobb eredménye. A problema hosszú ideig teljesen megközelít­hetetlennek látszott, míg végre Loschmied bécsi fizikusnak sikerült hozzáférkőzni a kérdés magvához. Ő volt az első, aki meghatározta az 1 cm3-ben foglalt gázmole­kulák számát, amelyet az ő tiszteletére ma is Loschmied-féle számnak nevezünk. Módszerének gondolatmenetét egyszerűsített és modernizált alakjában közlöm.

E célból mindenekelőtt hivatkoznom kell a fizika és kémia néhány alapvető megállapítására. A kérdést a gázállapotú testek tanulmányozása alapján fogjuk meg­oldani és így a gázak viselkedésére vonatkozó törvényeket kell rekapitulálnom. Szükségünk van a következő törvényekre.

1. Valamely adott gáztömeg nyomása (p) és térfogata állandó hőfok mellett (v) fordított arányban vannak, azaz pv = állandó (Boyle-Mariotte-féle törvény). A törvény, mint tudjuk kísérleti kutatások eredménye, azonban levezethető elméletileg is. Ezt az elméleti levezetést is tanítják a legtöbb középiskolában úgy, hogy e helyen csak a gondolatmenetét és az eredményt akarom közölni.

Az anyag molekuláris elmélete szerint, mint minden anyag, a gázak is rend­kívül nagyszámú molekulákból állanak. Ezek a molekulák igen nagy sebességgel haladnak, teljesen betöltik a rendelkezésükre álló teret, majd beleütköznek az edény falaiba úgy, hogy a gáz nyomása nem is egyéb, mint ezeknek az ütközéseknek az eredménye. Azt a fizikai elméletet, amely az itt vázolt feltevésre támaszkodik és annak következményeit foglalja magába, kinetikus gázelméletnek nevezzük. Megalapítói Krőnig (1856) és Clausius (1857), továbbfejlesztői Maxwell és Boltzmann és ma bátran mondhatjuk, hogy az elméleti fizikának kevés ily szép, befejezett, termékeny és perspektívákat nyitó fejezete van.

Mármost a Boyle-Mariotte féle törvényt könnyen levezethetjük a következő módon. 1) Vegyünk valamely adott hőmérsékleten ismert mennyiségű gáztömeget. A gáz térfogata v, nyomása pedig p. Szorítsuk most össze a gázat úgy, hogy tér­fogata az eredetinek k-ad része, v/k legyen. Világos, hogy a gáz minden köbcenti­méterében most k-szor annyi molekula lesz, mint volt előbb és így a molekula­bombázás k-szor élénkebb, vagyis a nyomás k-szor nagyobb lesz.

Ez a levezetés azonban nem elég szigorú. A kinetikus gázelmélet azonban szigorú bizonyítást is tud adni, (Joule, Clausius stb.) amelynek eredménye a kine­tikus gázelmélet alapképlete:

képlet

ahol p a gáz nyomása képlet, v a gáz térfogata (cm3), n a benne foglalt molekulák száma, m egy molekula tömege (gramm), u2 pedig a molekulák sebességeinek négyzeteiből megalkotott középérték, vagyis képlet a molekulák haladó mozgásából származó kinetikus energiák középértéke. 2) Mármost, ha meggondoljuk, hogy az adott gáztömegben n, m és u2 értékei állandó hőmérséklet mellett nem változnak, közvetlenül láthatjuk, hogy a pv szorzat állandó. Másfelől látnivaló, hogy a pv szor­zat dimenziója munka és valóban

képlet

vagyis jelenti az összes molekulák kinetikus energiáinak 2/3 részét.

2. Ha a hőmérséklet változik ismeretes, hogy a Mariotte-Gay Lussae-féle törvény értelmében

képlet

ahol T a gáz abszolut hőmérséklete (273 + t0), R pedig a gáz kezdeti adataitól függő állandó. A molekulák mozgási energiáinak összege tehát arányos az abszolut hőmérséklettel. Vagyis a hőmérséklet emelkedésével a molekulák sebessége folyton nő, azonban nem a sebesség arányos a hőmérséklettel (abszolut), hanem a mozgási energia, a sebesség négyzete. 3. Az Avogadro-féle törvény. Vegyünk különböző gázakból oly mennyiségeket, hogy térfogataik ugyanazon nyomás és ugyanazon hőfok mellett megegyezzenek. Ez esetben mindenik gáztömegben ugyanannyi molekula foglaltatik.

A következőkben gyakran fogunk találkozni a grammolekula fogalmával. Értjük ezen azt a gáztömeget, amelynek nagyságát grammokban az illető gáz molekula súlya adja meg. Így pl. a H molekula súlya 2, tehát a grammolekula hidrogen éppen 2 grammot nyom, vagyis 0° hőmérséklet és 760 mm nyomás mellett valamivel több mint 224 liter. Az Avogadro törvénye szerint közvetlenül világos, hogy minden gáz grammolekulája ugyanekkora térfogatú. Valamely gáz grammolekulányi mennyiségében foglalt molekulák számát az irodalomban N-nel jelöljük és Avogadro-féle szám­nak nevezzük.

Az itt közölt törvények legfontosabb eredménye, hogy igen egyszerűen meg­adják a molekulák sebességének középértékét. Az alapképlet szerint u. i.

képlet

Nm nyilván nem egyéb, mint M, a gáz tömege, tehát

képlet

és így nyomás, térfogat és tömegméréssel azonnal meghatározhatjuk a sebesség négyzetek középértékét. Ha különböző gázakból egyenlő térfogatokat veszünk (ugyanazon nyomás és hőmérséklet mellett, látjuk, hogy a molekulák sebességeinek közép­értékei a tömegekkel, tehát a molekulasúlyokkal fordítva arányosak. A nehéz mole­kulák megfelelően lassabban mozognak.

Az itt felmerült sebességekről a következő táblázat nyújt fogalmat

100°200°
Oxigen(O)461 m/sec539 m/sec604 m/sec
Hidrogen(H)1843 m/sec2153 m/sec2424 m/sec
Szénsav(CO2)392 m/sec458 m/sec515 m/sec

Az abszolut zérus hőfokon (-273) a molekulák sebessége és vele a haladó mozgás kinetikus energiája = 0.

Nem szabad elfelednünk, hogy itt csak középértékekről van szó, az egyes molekulák sebessége az adottnál lehet nagyobb vagy kisebb, de a középérték adva lévén, a valószínűségszámítás módot nyújt arra, hogy minden egyes gázra megálla­pítsuk a sebességek valószínű megoszlását.

Tekintetbe véve a molekulák nagy számát, belátható, hogy az egyes molekulák unos-untalan beleütköznek társaikba. Azt a távolságot, amelyet a molekula két egymásután következő ütközés között megtesz, szabad úthossznak nevezzük. Ez minden egyes molekulára nézve minden időpillanatban más és más, azonban nyil­vánvaló, hogy középértéke minden egyes gázra, minden egyes hőfoknál állandó. A szabad úthossz eme középértékét a következőkben L-lel jelöljük. Értékét először Clausius számította ki azon feltevés mellett, hogy a molekulák sebességei egyenlők. Maxwell eltekintett ettől a megszorítástól és a következő képlethez jutott

képlet

ahol lambda a molekulák (gömbalakú) középpontjainak egymástól való távolsága, ill. ezen távolságok középértéke, r pedig a molekulák sugara.

Ez a törvény még más alakban is felírható. Jelöljük a térfogategységben fog­lalt molekulák számát n-nel; ez esetben keplet, vagyis

képlet

ahol Q a térfogategységben foglalt molekulák felületeinek összegét jelenti. Ez a képlet, amelynek a következőkben nagy hasznát vesszük, nyilvánvalóan mutatja, hogy a szabad úthossz lényegesen függ a molekulaméretektől.

Egyenletünkben több ismeretlen van, tehát belőle a szabad úthossz nem határozható meg. Hogy ezt megtehessük új egyenletre, új megfigyelésekre, új méré­sekre van szükség. Az az új jelenség, amely a megoldáshoz vezet a gázak belső súrlódása, vagy amint a fizikában mondják, viszkozitása.

ábraLegyen AB a válaszfelület két gázréteg között, a felső gázréteg sebessége v1, az alsóé v2. Már a közönséges tapasz­talat is mutatja, hogy a két különböző sebesség nem marad­hat meg egymás mellett, hanem kiegyenlítődik, a gyorsabb gázréteg magával ragadja a lassúbbat és viszont veszít sebes­ségéből. A jelenség a kinetikus gázelmélet szerint úgy áll elő, hogy a molekulák a felső rétegből átjutnak az alsóba és annak sebességét mérséklik, viszont az alsó rétegből átjutnak a felsőbe és fokozzák annak sebességét. Ha most feltesszük, hogy a sebesség a z mentén haladva állandóan növekszik, könnyű belátni, hogy a sebességek kiegyenlítődése, annál gyorsabban következik be, minél távolabbi rétegekből kerülnek át molekulák (ezeknél u. i. a sebességkülönbség nagyobb) a másik rétegbe, továbbá minél nagyobb az így átjutó molekulák száma. Az eredmények pontos fogalmazását a belső súrlódás együtthatójának bevezetésével érjük el. Fel­tevésünk szerint a sebesség a z függvénye. A sebességkiegyenlítődést előidéző erő (P) nyilvánvalóan arányos a sebességváltozás sebességével (sebességgradiens képlet), a felülettel (s) és azonkívül függ a gáz anyagi minőségétől, illetőleg egy állandótól képlet, amelynek értékét a gáz anyagi minősége adja meg

képlet

képlet a belső súrlódás együtthatója, megadja annak a sebességkiegyenlítő erőnek az értékét, amely fellép, ha a felület 1 cm2 és ha a sebesség 1 cm elmozdulásnál 1 m/sec-dal változik (egységnyi sebességgradiens).

(Folytatjuk).

Budapest, Szent-István rg.

Erdős Lajos
tanár.

_____________________________________

1) O. D. Chwolson, Lehrbuch des Physik. 1. kötet 476.
2) Némely tankönyvben u hibásan úgy van beállítva, mint a molekulák sebességeinek középértéke. Ez a beállítás hibás, amit azonnal beláthatunk, ha meggondoljuk, hogy képlet különbözik képlet-től ill. általánosságban képlet lineáris sebességek középértéke Maxwell szerint kisebb, mint négyzetes sebességek középértéke és pedig annak képlet része, illetve közelítőleg 0.9 része.