RUTHERFORD-SZÓRÁS A MAG TASZÍTÓ COULOMB-TERÉBEN

Györgyi Géza
KFKI

A júliusi számban kísérletet tettünk a Kepler-probléma tárgyalására kizárólag középiskolás matematikával.¹ A Kepler-mozgással nyilvánvalóan több tekintetben rokon a Rutherford-szórás problémája, azaz az alfa-részecskék mozgása a mag taszító Coulomb-erőterében. Mindkét esetben kúpszelet a pálya s az erő a távolság négyzetével fordítva arányos. A Naprendszer - a Nap és a bolygók - megfigyelése, a Kepler-mozgás tanulmányozása, előkészítette Newton gravitációs erőtörvényének felfedezését. A Rutherford-szórás megfigyelése (a Coulomb-törvény ismeretében) pedig döntő lépés volt az atom és alkotórészeinek megismeréséhez vezető úton. Éppen 60 évvel ezelőtt az atommag felfedezéséhez vezetett el.²

Ebben a cikkben - a Kepler-mozgás említett tárgyalásának mintájára - az alfa-részecskék Rutherford-féle mozgását mutatjuk be. Eltérően a legtöbbször követett úttól, ³ tárgyalásunk nem a Newton-féle mozgásegyenletek integrálásán alapul. A Rutherford-féle szórási képlethez vezető, itt követett út így a differenciál-egyenletek és megoldási módszereik terén nem jártasak számára is járható. "Differenciálási rutint" sem feltételeztünk, sem pedig a közvetett, az inverz, az implicit függvény, s a hiperbolikus szinusz és koszinusz deriválási szabályainak ismeretét. A szerző ismét bevallja: kiváltképp iskolás beszélgetőtársak kérdéseinek megválaszolására kereste a módot; talán remélheti, hogy cikkét mások - így középiskolai szakkört vezető kartársak - is figyelemre érdemesítik.

E cikk szorosan követi a korábbi Kepler-cikket.¹ Az 1. szakaszban az (1.1) "egységhiperbolán" való mozgást vizsgáljuk; bevezetjük a hiperbolikus szinusz és koszinusz függvényeket. A 2. szakaszban nyújtással ill. zsugorítással tetszőleges excentricitású hiperbolapályára térünk át; levezetjük továbbá - a II. Kepler-törvénnyel analóg követelményből - Kepler időegyenletének analogonját. A 3. szakaszban a hodográfot (sebességábrát) határozzuk meg. A 4. szakaszban belátjuk, hogy a hiperbolapályán végbemenő Rutherford-mozgás gyorsulása - megfelelően Coulomb erőtörvényének - a távolság négyzetével fordítva arányos. Az 5. szakaszban levezetjük a Rutherford-féle szórási képletet.

A 60 év előtti helyzetet, melyben Rutherford felfedezését tette, megigézően idézi fel C. G. Darwin a Bohr 70. születésnapjára kiadott ünnepi kötetben. ⁴ Tanulmányában hangsúlyozza: híres szórási törvényének levezetéséhez Rutherford a hiperbolákra vonatkozóan nem használt fel többet, mint amit az iskolásgyermekek is tudnak. Elmondja, hogy Rutherford már a mag felfedezésének idején gondolt arra, hogy az ilyen szórásfolyamatok ismereteket szolgáltathatnak magának a magnak az alakjára és szerkezetére vonatkozólag.

A magok Coulomb-gerjesztéses - a kiterjedt kísérleti adatgyűjtő munka s az adatokat szép egységes képbe foglaló "egyesített modell" - Rutherford e várakozását messzemenően igazolta. A Coulomb-gerjesztés meglepően pontos eredményeket adó félklasszikus tárgyalása ⁵ (melynek alapját a részecskepályák klasszikus tárgyalása képezi) mutatja: a Rutherford-mozgás problémája nem csak a magfizika hőskorának történetében, hanem aktuális fejezeteiben is fontos helyet foglal el.

Szintén fontos ismeretek forrása az elektronok szóródása magokon és nukleonokon. Napjaink fontos fejleménye, az ultranagy-energiájú elektronok "mély" inelasztikus szóródása, Rutherford 60 év előtti felfedezését idézi fel. A Stanfordi Lineáris Akcelerátor Központ kétmérföldes gyorsítója által 21 GeV-re gyorsított elektronokkal elvégzett vizsgálatokat ismertető tanulmányában ⁶ Kendall és Panofsky azt írja, hogy most, 60 év múltán, az atoménál 100 000-szer kisebb méretek közt talán megismétli magát a történelem. Az ultranagyenergiájú elektronok nukleonokon észlelt szóródása minden előzetes elképzelésnek ellentmond. A megfigyelések alapján feltehető, hogy a nukleonok összetett rendszert képeznek; feltételezett pont szerű alkotóelemeiknek a "parton" nevet adták. (A szóráskísérletek elemzésének alapját a Rutherford-formula általánosításai: Mott és Rosenbluth képletei képezik).

Még meg kell említeni, hogy rögzített ponttöltés Coulomb-terén szóródó töltött részecske differenciális szórási hatáskeresztmetszetére mind a klasszikus mechanika, mind a kvantummechanika alapján elvégzett számítás a Rutherford-formulát adja. Ezt a fizika fejlődésében különösen szerencsés körülményt Norcliffe, Percival és Roberts elemezte a kvantummechanika Feynman-féle megfogalmazásának keretei között. ⁷

1. Mozgás egyenlőszárú hiperbolán, a centrumra vonatkozó területi sebesség const. értéke mellett. Kiindulásképpen adott hiperbolapályához kötött részecske mozgásával foglalkozunk. A pálya legyen a fél valós tengely egységnyi értékével jellemzett

egyenlőszárú hiperbola jobb ága. A részecske (jele legyen P) helyzetét meghatározhatjuk x, y Descartes-koordinátái segítségével. De jellemezhetjük azon OP₀P síkidom u kétszeres - előjeles területével is, melyen a hiperbola O centrumát a részecskével összekötő vektor végigseper, miközben a részecske P₀-ból az x, y koordinátájú pontba mozog (lásd az 1. ábrát; az alsó félsíkon fekvő pontok esetében az u kétszeres terület negatív szám); u megadása x-et és y-t egyértelműen meghatározza:

Ez definiálja az sh és ch hiperbolikus szinusz és koszinusz függvényeket. Felhasználandó tulajdonságaikat alább e definíció alapján állapítjuk meg majd.

Az O-t P-vel összekötő x helyvektor a Descartes-rendszer tengelyei irányába mutató i, j egységvektorok segítségével az

alakban írható fel. A terület, melyen x egységnyi idő alatt végigseper, legyen const. ; a konstans értékét 1/2-nek választjuk. A kétszeres területi sebesség értéke tehát egy. Jelölje az u-hoz tartozó

1. ábra

x vektort részletesebben x(u), a megfelelő Descartes-koordinátákat pedig x(u) és y(u). Növeljük meg u-t -val; x(u) ekkor x(u +) = x(u) + -re, x(u) és y(u) pedig x(u + ) = x(u) +-re, ill. y(u + ) = y(u) + -ra változik. A / vektor a elmozdulásnak megfelelő átlagsebesség.

*

Az x + , y + megváltozott koordinátákra (1.1) ugyancsak teljesül:

Osszuk el (1.4) és (1.1) különbségét 2-val, majd tartson zérushoz. Ily módon az

eredményt kapjuk.

Annak a síkidomnak az előjeles területe, amelyen a helyzetvektor, míg x-ről x + -re változik, végigseper, / 2-vel egyenlő. Ugyanez a terület közelítőleg kifejezhető az x, y koordinátákkal és , megváltozásaikkal is (lásd a 2. ábrát.). Az x és x + helyvektorú pontok s az O centrum mint szögpontok által meghatározott háromszög előjeles területe

[Az y = 0 speciális esetben e területképlet helyessége nyilvánvaló. Tetszőleges x, y esetére is nyomban belátjuk érvényességét, ha tekintetbe vesszük, hogy a Descartes-rendszer elforgatásakor az (1.6) kifejezés alakja változatlan marad.] Minél kisebb a növekmény, annál jobb közelítése (1.6) a /2 területnek; esetén hányadosuk egyhez tart:

Az (1.5), (1.7) relációk jobb oldalán álló lineár is egyenletek megoldása, ha még tekintetbe vesszük

2. ábra

(1.1)-et is, dx/du = y és dy/du = x; (1.2) figyelembe vételével írhatjuk:

A átlagsebesség határértékét, a dx/du (tangenciális) sebességvektort, jelölje röviden t; (1.3), (1.8), (1.9) értelmében

2. A Rutherford-mozgás származtatása. Az 1. szakaszban szemügyre vett speciális mozgásból adott arányú, y irányú nyújtással vagy zsugorítással tetszőleges excentricitású hiperbolapályán végzett mozgást származtathatunk. Legyen ; P koordinátáinak (1.2) kifejezésében sh u-t szorozzuk meg a tényezővel. E zsugorítás , ill. nyújtás P-nek az

koordinátákkal jellemzett Q pontot felelteti meg (3. ábra). A fél valós tengely egységnyi és az excentricitás értékével jellemzett hiperbolát kapunk. Valóban, egyszerűen meggyőződhetünk arról, hogy a Q pontnak a -, 0, ill. , 0 Descartes-koordinátájú gyújtópontoktól mért távolság-különbsége const. (= 2).

Tudjuk: u az OP₀P síkidomnak - melyet a 3. ábrán vízszintes vonalkázás különböztet meg - a kétszeres területe. A függőlegesen bevonalkázott OP₀Q idomot ebből az y irányú méretek arányú zsugorításával - ill. nyújtásával nyertük. A terület eközben ugyancsak arányban változott. A terület, melyen az O-t P-vel összekötő helyzetvektor időegység alatt végigsepert (azaz a területi sebesség), 1/2 volt; Q területi sebességét ebből az tényezővel szorozva kapjuk. (Mind a két esetben az O centrumra vonatkoztatott területi sebességről van szó. )

3. ábra

Módosítsuk most feltevésünket. A Q pontnak az O centrumra vonatkoztatott területi sebessége helyett Q-nak az M baloldali fókuszra vonatkoztatott területi sebességétől kívánjuk meg, hogy konstans legyen. Először az egyenlőszárú hiperbolán haladó P pontot vesszük szemügyre. A 3. ábrán az O-t a P-vel összekötő x vektor mellett az M-től P-hez vont egyenes szakaszt is láthatjuk. Neve legyen röviden MP vezérsugár.

Tudjuk: az OP₀P (vízszintesen vonalkázott) síkidom területe u/2. Az MP vezérsugár által súrolt területet úgy kapjuk, hogy u/2-höz hozzáadjuk az MOP háromszög 1/2 shu területét. Feltesszük, hogy az MP vezérsugár által súrolt terület arányos az idővel. Eszerint 1/2 (u +  sh u) a t időnek állandószorosa; az állandót -vel jelölve írható:

Ez annak feltétele, hogy az MP vezérsugár által súrolt terület arányos legyen az idővel. Az M-től Q-hoz vont vezérsugár által súrolt idom ebből arányú, y irányú nyújtással ill. zsugorítással állt elő, területe tehát az előbbinek (= const.)-szorosa. Az M-től Q-hoz vont vezérsugár eszerint egyenlő idők alatt szintén egyenlő területeket súrol, azaz: Q-nak M-re vonatkoztatott területi sebessége konstans.

Más szóval: Q a (2.1) hiperbolapályán a II. Kepler-törvénnyel összhangban halad. A (2.2) összefüggés a Kepler-féle időegyenlet analogonja.

3. A Rutherford-mozgás hodográfja. A 2. szakaszban meghatároztuk u és t kapcsolatát azon feltevés alapján, hogy Q-nak az M fókuszra vonatkoztatott területe állandó legyen. Ebben a szakaszban a célunk: a sebesség, ill. a sebességnek a mozgás folyamán való változásait szemléltető hodográf (sebesség-ábra) meghatározása.

Az u-nak megfelelő t időt részletesebben jelöljük t(u)-val. Ha u-t -val megnöveljük, (2.2) baloldala -val, a jobboldal -vel nő ; -vel osztva mind a két oldalt, kapjuk:

Végezzük el a határátmenetet; (1.9) figyelembe vételével kapjuk:

Ennek birtokában könnyen meghatározható az (1.3) vektor

differenciahányadosának határértéke, a deriváltvektor. Az első tényező (3.3) jobb oldalán (1.10)-hez, a második (3.2)-höz tart. Írható tehát:

a w_x, w_y derékszögű sebességkomponensek:

A (3.4), (3.5) képletek az (1.2) egyenlőszárú hiperbolán végzett mozgás sebességét adják meg. Az arányú, y irányú nyújtással, ill. zsugorítással nyert (2.1) hiperbolapályán haladó Q pont v sebességét ebből úgy kapjuk, ha (3.5) alatt w_y-t -del szorozzuk meg; v derékszögű komponensei eszerint

*

A (3.6) sebességkomponensek teljesítik a

egyenletet. Ez sugarú kör egyenlete, melynek középpontja az ordinátatengelyen, magasságban van. Megjegyzendő, hogy míg u végigfutja a valós számegyenest, v nem járja körül a kört egészen, csak a (nyitott) ívet írja le. Ez a mozgás hodográfja (4. ábra).

Vezessük be a szöget a

összefüggések segítségével; az M-et Q-val összekötő vezérsugár (3.ábra). A vezérsugár u-val, ill. -vel (2.1) és (3.8) alapján az

alakban fejezhető ki. Az u, mennyiségek kapcsolatát kifejező összefüggések:

4. ábra

A (3.10) egyenletek alapján a (3.6) sebességkomponensek a

alakban írhatók fel. A hodográf új paraméteres előállítását kaptuk; -t a 4. ábra szemlélteti.

4. Rutherford-mozgás és Coulomb-taszítás. Határozzuk meg v végpontjának sebességét, vagyis a gyorsulást. Legyen s a szög idő alatt növekedjék -vel; komponensei (3.12) alapján:

A / differenciahányadost írjuk fel a

alakban. A (3.10) vagy a (3.11) képletek közül az első értelmében és u között fennáll a

összefüggés. Az megnövekedett értékekre szintén teljesül (4.3):

Vonjuk le (4.3)-at (4.4)-ből; -val osztva, csekély átalakítással kapjuk:

Végezzük el a határátmenetet. A színusz és koszinusz függvények differenciahányadosai (4.1) és (4.5) alatt a megfelelő

deriváltakhoz tartanak; ch u differenciahányadosának határértékét (1.8) adja meg. A (4.2) egyenlet jobb oldalán az első tényező határértéke ; (4.5)-ből kapjuk, (3.9) és (3.10) vagy (3.11) figyelembe vételével:

A második tényező (4.2) jobb oldalán a (3.2) deriválthoz tart, amit (3.9) tekintetbe vételével így is írhatunk:

A (4.2), (4.6), (4.7), (4.8) képletek alapján (4.1) határértékére kapjuk:

Ugyanez vektoregyenletté összefoglalva:

ahol r° az M gyújtóponttól a hiperbolapályán haladó Q pont (részecske) felé mutató egységvektor. A dv/dt gyorsulás, megfelelően Coulomb erőtörvényének, fordítva arányos a távolság négyzetével.

A fentiekben a hiperbolapálya fél valós tengelyét egynek választottuk; (4.10) erre az estre érvényes. Ha a fél valós tengely a, (4.10) alatt r helyére r/a, v helyére v/a helyettesítendő. Ekkor tehát

Coulomb erőtörvényében r°/r² együtthatója: a mag Ze töltése, szorozva a részecske ze töltésével, és osztva a részecske m tömegével; -t ezzel egyenlővé téve az

összefüggést kapjuk. Ez bizonyos mértékig analóg a III. Kepler-törvénnyel. Természetesen a idődimenziójú konstans most nem a keringési idő. Mindamellett jellemzi a mozgást: mellett a részecske sebessége, osztva a fél valós tengellyel, a

határértékhez tart.

5. A Rutherford-féle szórási képlet. Mint a 4. szakasz utolsó bekezdésében, a következőkben is legyen a fél valós tengely nagysága tetszőleges a érték. Ekkor (2.1) helyett

Ha a közeledő részecskére nem hatna a taszító erő, mindvégig sebességgel haladna az aszimptota mentén s az erőcentrum mellett távolságra haladna el (5. ábra). A ütközési paraméter a szórási szög segítségével (5.4) szerint a következő alakban írható fel:

Megjegyzendő, hogy a fél valós tengely (4.12) és (4.13) szerint kifejezhető a szóró mag Ze töltésével, a szórt részecske ze töltésével, m tömegével és kezdeti sebességével:

Közeledjék az erőcentrum (mag) felé a kezdeti sebesség adott nagyságával és rögzített irányával jellemzett részecskenyaláb. Azok a részecskék, amelyek a mag köré, a kezdeti mozgásirányra merőleges síkban, belső és külső sugárral képzeletben megszerkesztett körgyűrűt "eltalálják", az (5.5)-tel adott s a

által adott közé eső szöggel szóródnak. Ezen körgyűrű területe (5.5), (5.7) alapján:

Ha az erőcentrumot képzeletben egységnyi sugarú gömbfelülettel vesszük körül, azon a és szórási szögek egy-egy "szélességi kört" jellemeznek; e körök által közrefogott gömböv magassága , a felszíne pedig . Osszuk el ezzel, a "felszínnel" az (5.8) területet; mellett a differenciális szórási hatáskeresztmetszet Rutherford-féle képletét kapjuk:

[felhasználtuk a-nak (5.6) alatt adott értékét is].

A mag felé haladó parallel nyalábban egységnyi keresztmetszeten egységnyi idő alatt haladjon át S (= const.) számú részecske. Ekkor az időegység alatt és közé eső szögű szórást szenvedő részecskék száma .

________________________________