A KEPLER-MOZGÁS ÉS A GRAVITÁCIÓS TÖRVÉNY

Györgyi Géza
KFKI

"Gondolatok a fizika tanításának néhány kérdéséről" című kiváló cikkében ¹ Holics László szép és igaz gondolatokat fogalmaz meg a mechanikaoktatásról, a természeti folyamatok kvantitatív megfogalmazásáról, a deduktív módszerről:

"A mechanika tanítja meg (a tanulót) a lehető legegyszerűbb objektumokon megfigyelni a változásokat, jelenségeket, egzakt kvantitatív formába foglalni az egyszerű folyamatokat… Itt tanul meg deduktíve eljutni új, meg nem figyelt igazságokhoz és itt csodálja meg először a természetmagyarázó elvek lenyűgöző teljesítőképességét..." Majd Marx György szavaira hivatkozik: ... az egész fizikaoktatásban lényeges szerepet kell juttatni a dinamikai alaptörvények tanításának . . . velük kell illusztrálnunk a természettörvény fogalmát, szerepét, rajtuk keresztül kell rámutatni a természeti jelenségek gazdag változatossága mögött rejlő egyszerű és mély összefüggésekre."

Még Vermes Miklós írásából szeretnénk idézni; Mikola Sándorról írva említi, ² hogy az ő számára "a fizika centrális része a Newton-axiómák, a gravitáció, a Kepler-törvények . . . területén feküdt."

Valóban, a Newton-axiómák, a gravitációs törvény és a Kepler-probléma fontosságát a fizika fejlődésében és felépítésében aligha lehet eléggé hangsúlyozni. A Newton-féle dinamikai alaptörvények oktatásának még nyomatékosabbá, elmélyültebbé kell válnia, különös tekintettel a sürgető szükségletre, hogy a relativitáselmélet és a kvantummechanika alapjai is helyet kapjanak a középiskolai oktatásban. A Kepler-probléma pedig prototípusa az egyszerű folyamatnak, melyből deduktíve új igazságokhoz juthatunk, mindenekelőtt Newton gravitációs és dinamikai törvényeihez; de ezeken túl hosszú a sora azoknak a fontos fizikai tényeknek és törvényeknek, amelyeknek felismerése a Kepler-problémához kapcsolódik.

Jogosnak tetszik tehát lehetőségek után kutatni, melyek a Kepler-mozgást s vele összefüggésben Newton dinamikai törvényeit közelebb hozhatják a tanulóhoz s számára élményszerűbbé tehetik. Mindenekelőtt szeretnénk rámutatni: a Kepler-mozgás időbeli lefolyását kvantitatív alakban kifejező (2.5) Kepler-féle időegyenlet a bolygómozgást tárgyaló gimnáziumi fizikakönyv ³ matematikai eszközeinek hatósugarán belül fekszik. Kitűzhető feladatul a Kepler-pálya megrajzolása, a pálya egyes pontjai mellett feltüntetve a megfelelő időpontokat. A pálya jellemző adataiból kiszámítható pl., milyen messze jár most a Halley-üstökös, mennyivel hosszabb a nyarat magában foglaló félév, mint az a félév, amely a telet foglalja magában, nyomonkövethető a műholdak - közöttük a gyakorlatilag fontos, nyújtott pályán keringő "Molnija-I" távközlési holdak - mozgása. Ugyanezen matematikai eszközök birtokában ugyancsak könnyen megszerkeszthető a hodográf görbéje [a sebesség-ábra; lásd a (3.5) vagy a (3.12) képletet]. A folyamatok kvantitatív formába foglalására ezek a feladatok bizonyára elmélyültebben tanítanak, mint a Kepler-törvények szövegének emlékezetben való rögzítése, vagy az egyenlő idők alatt súrolt területek egyenlő voltát szemléltető ábra. A pályagörbe s a hodográf, valamint az időbeli lefolyás: ez a kép kinematikailag kimerítő. Ami a dinamikát illeti, a gimnáziumi tankönyv megállapítja: "A bolygók mozgását leíró erőtörvény a Kepler-törvényekből levezethető. Kepler fáradozott is ilyen törvény megalkotásán, azonban ilyen irányú munkája nem volt eredményes." Majd közli a távolság négyzetével fordítottan arányos gravitációs erő képletét. Körpálya esetére az egyetemi kísérleti fizika tankönyvben ⁴ megtalálható a levezetés. Egyszerűsége középiskolába illő; valójában a gimnáziumi tankönyv³ 119. oldalán közölt 2. példa képletéhez fűzött egyetlen megjegyzéssel elintézhető lenne. Ebben a cikkben meg szeretnénk mutatni, hogy a bonyolultabb feladat, a távolság négyzetével fordítottan arányos erő törvényének megállapítása ellipszispályákra szintén elvégezhető olyan matematikai eszközökkel, amelyeknek számos középiskolás birtokában van. Megfontolásunk azon alapszik, hogy a Kepler-mozgás hodográfja kör: a sebességvektor végpontja körmozgást végez. A sebességvektor végpontjának a sebességét, azaz a gyorsulást határozzuk meg. Bizonyos bonyodalmat jelent, hogy ez a körmozgás nem egyenletes. A számítást gépiesen elvégezhetnénk a közvetett, az inverz és az implicit függvény deriválási szabályát felhasználva. Ezekre mindamellett nem, csupán a szögfüggvények differenciahányadosainak határértékeire hivatkozunk. Az olvasótól, aki gépiesebb tárgyalást szívesebben látna, a szerző elnézést kér: cikkét ebben az alakban beszélte meg tizenéves (ált. iskolás, kismatematikus) beszélgetőtársaival. Végül szeretné hangsúlyozni: félreértés volna, ha e cikkben bárki határozott javaslatot vagy konkrét kritikát látna. Utakat, lehetőségeket keresni és kipróbálni: csupán ennyi volt a cél. A 400 éve született Johannes Kepler műve minden bizonnyal egy nemzedékhez sem állott olyan közel, mint a miénkhez, mely tanúja lehetett az Űrkorszak eljövetelének. Akarjuk azt és következményeit a természetleírás sajátos nyelvén: a matematikáén is gyermekeinknek minél pontosabban és élményszerűbben megmagyarázni !

1. Az egyenletes körmozgásról. Kiindulásképpen idézzük fel adott körpályához kötött tömegpont (anyagi részecske) mozgását. A pálya legyen egységnyi sugarú kör:

A tömegpont (jele legyen P) helyét meghatározhatjuk x, y Descartes-koordinátái segítségével. De jellemezhetjük a P₀OP körív u hosszával is (1. ábra); u egyben a P₀OP középponti szög ív mértéke. Megadása az x, y koordinátákat egyértelműen meghatározza:

1. ábra

A tömegpont körpályáján egységnyi idő alatt fusson be egységnyi utat. A pályamenti sebesség tehát egyenlő eggyel. A részecske adott pontba 2 idő múltán tér vissza; egyenletes körmozgással állunk szemben.

Az O-t P-vel összekötő x helyzetvektort a síkbeli Descartes-koordinátarendszer tengelyei irányába mutató i, j egységvektorokkal az

alakban fejezhetjük ki. A sebesség vektora a pillanatnyi mozgásirányba, vagyis a körpálya P-beli érintőjének irányába mutat. Nagysága a pályamenti sebesség értékével egyenlő, ami esetünkben egy. Egységnyi hosszúságú, érintőirányú sebességvektorunkat t-vel jelöljük:

*

A t sebességvektort a fentiekben a körmozgás szemléletes képére hivatkozva nyertük. Hasznos lesz, ha eljárásunkat egybevetjük a sebesség határátmenet útján való kiszámításával. Az u szögnek megfelelő helyzetvektort jelöljük részletesebben x(u)-val. Növeljük meg u-t -val; x(u) ekkor x (u + x(u) + -re változik. A / vektor a elmozduláshoz tartozó átlagsebesség. Az i, j egységvektorokkal ez a

alakban fejezhető ki, ahol

Ha minden határon túl zérushoz közeledik, a (1.5) átlagsebesség mint határértékhez az (1.4) sebességvektorhoz tart:

2. A Kepler-mozgás származtatása körmozgásból merőleges vetítéssel. Az 1. szakaszban a körmozgást síkbeli Descartes-koordináták segítségével írtuk le. Vezessünk be most egy térbeli derékszögű koordinátarendszert; e₁, e₂, e₃ legyenek a koordinátatengelyek irányába mutató egységvektorok.

Az i, j egységvektorok közül, amelyek segítségével a körpályát (1.3) alatt leírtuk, az előbbit válasszuk e₁ -gyel egyenlőnek, az utóbbi pedig feküdjön e₂ és e₃ síkjában és e₂-vel a szöget zárja be ( 2. ábra):

2. ábra

A következőkben az jelölést fogjuk használni; ekkor természetesen . Az x helyzetvektor az e_l, e₂, e₃ egységvektorokkal az

alakban fejezhető ki; e_l, e₂, e₃ mellett szorzóként a tömegpontnak új, térbeli koordinátarendszerünkre vonatkoztatott x, y, z koordinátái állnak:

Vetítsük a körpályán keringő P pontot merőlegesen az xy síkra; P vetületét, melyet Q-val jelölünk az

koordináták jellemzik (a harmadik koordináta természetesen zérus). Ellipszist kaptunk, melynek fél nagytengelye egy; E az excentricitás. Valóban: egyszerűen meggyőződhetünk arról, hogy a Q pontnak az , O és - , O síkbeli Descartes-koordinátájú gyújtópontoktól mért távolságösszege const. (= 2). Megjegyezzük, hogy a (2.4) ellipszist az (1.2) körből y irányú, arányú zsugorítással is. megkaphattuk volna. A vetítéssel való származtatás mindamellett a következők szempontjából előnyösebb.

*

A pályamenti sebesség állandó volta a vetítéskor veszendőbe megy. Jellemezhető azonban az egyenletes körmozgás olyan tulajdonsággal is, amit a merőleges vetítés nem ront el. Miközben a P pont körpályáján u hosszúságú ívet fut be, az x vektor u/2 területű körcikken seper végig. A (2.4) ellipszispályán haladó Q pont helyzetvektora által kisepert terület ezen körcikk területének -szorosa. (Bármely, az i, j vektorok síkjában fekvő T területű síkidomot merőlegesen vetítve az e_l, e₂ síkra, T területű síkidomot kapunk.) Ha a P pont által megtett u út, mint feltettük, arányos az idővel, úgy az időegység alatt végigsepert terület, a területi sebesség, ugyancsak állandó. Az ellipszispályán haladó Q pont területi sebessége, vagyis az O-ból Q-ba mutató helyzetvektor által egységnyi idő alatt végigsepert terület, mely - mint láttuk - az előbbinek (= állandó)-szorosa, ennek következményeképpen szintén konstans.

*

A Q pont tehát ellipszispályán kering, mint a bolygók az I. Kepler-törvény szerint. A Q pont

mozgása és a bolygómozgás azonban eltérő tulajdonságú abban a tekintetben, hogy míg az első esetben a Q pontnak az ellipszis O középpontjára vonatkoztatott területi sebessége konstans, az utóbbi esetben a Nap által elfoglalt N gyújtópontból a bolygóhoz vont vezérsugár az, ami - a II. Kepler-törvény szerint - egységnyi idő alatt állandó nagyságú területen seper végig.

Módosítsuk modellünket oly módon, hogy Kepler II. törvényét is helyesen tükrözze vissza. Először a körmozgást végző P pontot vesszük szemügyre. A 3. ábrán a körpályával együtt ábrázoltuk (2.4)

3. ábra

ellipszisünk jobboldali N gyújtópontját is (mely az x tengelyen fekszik s így benne van a körpálya síkjában). Az O-t P-vel összekötő x vektor mellett az N-től P-hez vont egyenes szakaszt is láthatjuk. Nevezzük ezt röviden NP vezérsugárnak.

Tudjuk: u hosszúságú ívdarab befutása közben az x vektor u/2 területű körcikken seper végig. Mekkora az a terület, amelyet eközben az NP vezérsugár súrol? Ezt oly módon kapjuk, hogy a körcikk u/2 területéből levonjuk az ONP háromszög területét. Az egyenletes körmozgást azzal jellemeztük, hogy az u ívhossz, vagy az x által súrolt u/2 terület az idővel arányosan nő. Ehelyett most új feltevést teszünk: legyen az NP vezérsugár által végigsepert terület arányos az idővel. Eszerint állandószorosa a t időnek; az állandót -vel jelölve írhatjuk:

ahol T az az idő, amely alatt u zérusról -re nő (periódus vagy keringési idő).

Ez annak feltétele, hogy az NP vezérsugár által súrolt terület arányos legyen az idővel. Az N-től Q-hoz vont vezérsugár által végigsepert terület ennek az xy síkra vetett merőleges vetülete. Mivel vetítéskor a terület (= const.)-szorosára változik, az új feltevés folytán a modell a kívánt módon módosult: ellipszispályáján Q a II. Kepler-törvénnyel összhangban kering.

A (2.5) összefüggés a Kepler-féle időegyenlet.

3. A Kepler-mozgás hodográfja. Határozzuk meg a körpályán. keringő P tömegpont pályamenti sebességét Kepler időegyenlete alapján. Az u szögnek megfelelő t időt jelöljük részletesebben t(u)-val. Növeljük meg u-t -val; t(u) ekkor t(u + ₎-ra nő. A hányados, ahol , a megváltozáshoz tartozó átlagos pályamenti sebesség. A pályamenti sebesség adott ponthoz (u-hoz, t-hez) tartozó értékét a határátmenet szolgáltatja.

Ha u-t -val megnöveljük, (2.5) baloldala -val, a jobboldal -vel nő; -vel osztva kapjuk:

Végezzük el a határátmenetet; (1.10) tekintetbevételével kapjuk:

(A t idő szerint elvégzett differenciálást olykor pont segítségével is jelezzük.)

A (3.2) pályamenti sebességgel megszorozva az (1.4) érintőirányú egységvektort, megkapjuk a P tömegpont sebességvektorát. Ezt w-vel fogjuk jelölni: Az (1.4), (2.1), (3.2) képletek alapján, az jelölés felhasználásával írhatjuk:

A 2. szakaszban a P pontot merőlegesen projiciáltuk az xy síkra; Q, melyet ily módon kaptunk, a (2.4) ellipszispályán Kepler-mozgást végez. A Q pont sebességét v-vel fogjuk jelölni. A v sebességvektor a (3.3)-mal megadott w vektor vetülete az xy síkra. Az utolsó, e₃-mal arányos tagot elhagyva kapjuk:

Innen a derékszögű sebességkomponensek nyomban leolvashatók:

A sin u, cos u szögfüggvényeket kiküszöbölve kör egyenletét kapjuk (feltéve, hogy ):

Ez a Kepler-mozgás hodográfja. A kör sugara , középpontja az ordinátatengelyen van magasságban ( 4. ábra)

4. ábra

Hasznos bevezetni a szöget a

összefüggések segítségével; az ellipszispálya N gyújtópontját a Q ponttal összekötő vezérsugár, pedig a vezérsugár azimutszöge (5. ábra). A csillagászok -t valódi anomáliának nevezik; u az excentrikus közepes anomália. A vezérsugár az excentrikus anomália segítségével (2.4) alapján az

5. ábra

alakban fejezhető ki. A (3.7) képletek helyett írható:

A (3.9) összefüggések megfordítása:

Ez utóbbi összefüggések közül az elsőt (3.8)-ba helyettesítve a pályaellipszis polárkoordinátás egyenletét kapjuk:

A valódi anomáliát meghatározó (3.9) egyenletek segítségével a (3.5) sebességkomponenseknek a

egyszerű alakot adhatjuk. A hodográf új paraméteres előállítását kaptuk. A szög szemléletes jelentését a 4. ábra mutatja.

4. A Newton-féle gravitációs törvény. Határozzuk meg a v vektor végpontjának sebességét, vagyis: a Kepler-mozgást végző Q pont gyorsulását. Ismét körmozgással van dolgunk, csakhogy ez a körmozgás nem egyenletes.

Legyen és növekedjék a valódi anomália idő alatt -vel. A differenciahányados komponensei (3.12) alapján :

A / "átlagos szögsebesség" meghatározását megnehezíti, hogy -t nem tudjuk egyszerű, zárt alakban t segítségével kifejezni. Könnyen megadható azonban a (3.9) vagy a (3.10) képletek közül az első alapján és u között a

összefüggés; u kapcsolatát t-vel a (2.5) Kepler-egyenlet fejezi ki. A keresett "szögsebességet" írjuk fel ezért a

alakban. A differenciahányadost (3.1) alatt meghatároztuk. Még kiszámítása van hátra.

Az megnövekedett értékek között ugyancsak fennáll (4.2):

Vonjuk le (4.2)-t (4.4)-ből; -val osztva, csekély átalakítás után kapjuk:

Végezzük el most a határátmenetet. Ismerni kívánjuk a (4.1) differenciálhányadosok határértékeit, azaz a dv/dt gyorsulás komponenseit. Vegyük tekintetbe (1.9)-et és (1.10)-et, továbbá a (4.5)-ből (3.8) és (3.10) - [vagy (3.9) és (3.11)] figyelembevételével kapott

valamint a (3.2), (3.8) egyenletekből következő

relációt; (4.3)-at is tekintetbe véve, (4.1) határértékére kapjuk:

Ugyanez vektoregyenletté összefoglalva:

ahol r° az N gyújtópontból a Q tömegpont felé mutató egységvektor. Megkaptuk az eredményt: a Kepler-mozgást végző tömegpont gyorsulása - megfelelően Newton gravitációs törvényének - fordítva arányos a rádiuszvektor négyzetével.

Megjegyzendő, hogy a (2.4) vagy (3.11) pályaellipszis fél nagytengelyét egynek választottuk. Ha nem így teszünk, a végeredményben az ellipszis a fél nagytengelye is fellép:

Az tényező -tel egyenlő, s ez Kepler III. törvénye szerint a Naprendszer minden bolygójára ugyanaz az érték.

_________________________________