EGY REMÉNYTELENNEK TŰNŐ VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN

Tél András, BME, Mechatronika alapszak, III. évfolyam
Tél Tamás, ELTE, Elméleti Fizikai Tanszék

A modern műszaki problémákban, így például a robotok tervezésekor gyakran lépnek fel irányítási, vezérlési feladatok. Ezek közül különösen érdekesek azok, amelyek során egy eredendően instabil állapotba kell eljuttatni a rendszert. Az alábbiakban bemutatunk egy első látásra reménytelennek tűnő mechanikai feladatot, amelynek megoldásához a modern fizika mára már klasszikussá vált eredményei adnak segítséget.

A vezérlési feladat

Tekintsünk egy egyenes mentén harmonikus rezgőmozgást végző m tömegű testet, amelynek rugóállandója egy előírt D(t) függvény szerint változik időben. Az x(t) kitérés-idő függvényt meghatározó mozgásegyenlet [1]

ahol a pont az idő szerinti deriválást jelöli. Az ennek az egyenletnek eleget tevő rendszer manapság érzékelők (szenzorok) és beavatkozó egységek (aktuátorok) segítségével könnyen megépíthető, bármilyen is a D(t) függvény. A rugóra ható erő most tehát nem csak a kitéréstől függ, hanem az időfüggő rugóállandó pillanatnyi értékétől is.¹ Az (1) egyenlet jobb oldala expliciten is függ az időtől, a differenciálegyenlet nem autonóm, vagyis a mozgás folytatását nem csak a test pillanatnyi helyzete és sebessége határozza meg, hanem egy külső hatás is. Az egyenlet olyan típusú, mint a gerjesztett rezgéseket leíró egyenletek [1], csak az időfüggés nem egy külső erőben, hanem a rugóállandóban jelenik meg. A mechanikai összenergia a súrlódás hiányában sem állandó, hiszen a rugóállandó időbeli változása miatt a rendszer energiát nyerhet vagy veszíthet.

Tegyük föl ráadásul, hogy a rugóállandó időben monoton módon csökken, egy idő után előjelet vált, s attól kezdve végig negatív marad. Az egyszerűség kedvéért egységnyi tömeget tekintve, s alkalmasan megválasztott időegységet használva, ezt kifejezhetjük úgy is, hogy a mozgásegyenletet az

alakba írjuk. Itt d > 0 a nulla pillanathoz tartozó kezdeti rugóállandó, és k(t) az időbeli változást leíró rugófüggvény, amely nulláról indul és monoton módon tart a d-nél nagyobb A értékhez. Konkrétan válasszuk a k(t) rugófüggvényt

alakúnak, amely egy egyszerű, folytonos átváltást ír le 0 és A > d között. A rugófüggvény alakját és a d kezdeti értékhez való viszonyát az 1. ábra mutatja.

A (2) egyenlethez tartozó vezérlési probléma² a következő: véges kezdeti kitéréssel indítva, adott A mellett, elérhető-e d alkalmas megválasztásával, hogy a test hosszú idő után megálljon?

Mivel a kezdeti rugóállandó az A nagyságú intervallumban változhat, ezt az intervallumot az operációs tartománynak nevezzük. Egy vezérlési feladat során az A értéket rögzítjük. A megoldás azért tűnik első ránézésre reménytelennek, mert az eredő rugóállandó egy idő után (t > t_c -re) negatív, a rugó taszító, s a taszító rugók általános tulajdonsága, hogy egyre távolabbra juttatják a testet, amely formálisan tehát kifut a végtelenbe. A vezérlés lehetőségében azonban mégis reménykedhetünk, ha egy speciális feltétel teljesül. Ha a t_c pillanatban a test nem távolodik az origótól, hanem közeledik hozzá, méghozzá elegendően nagy sebeséggel, akkor előfordulhat, hogy tehetetlensége miatt ezt a közeledést megtartja, s ámbár az eredő rugóállandó abszolútértéke nő, az eredő erő nagysága,

csökkenhet, ha ¦x(t)¦ elegendően kicsi és megfelelő ütemben csökken. Így tehát egészen kivételes esetekben, bizonyos d értékek mellett, lehetséges az, hogy a test hosszú idő után az origóhoz tartson, megálljon.

Numerikus eredmények

A speciális d értékek megtalálásához általában csak numerikus módszerekkel juthatunk. Rögzítsük ezért először a kezdőfeltételt oly módon, hogy a mozgás mindig egységnyi kitéréssel indul, kezdősebesség nélkül:

Az, hogy a kezdeti kitérés egységnyi, nem jelent megszorítást, mert a hosszegység szabadon választható (más szóval, azt a távolságot tekintjük hosszegységnek, amelyből a test indul). A vezérlés ezek után egyetlen mennyiség, a d kezdeti rugóállandó megválasztásával végezhető el. A mozgás numerikus integrálásához a Newton-egyenlet szimulálására jól bevált negyedrendű Runge-Kutta-módszert [2] választottuk, rögzített h lépésközzel. A negyedrendű jelző arra utal, hogy egy iterációs lépés h⁴ értékig pontos (a hiba nagyságrendje h⁵). Ez elegendő pontosságot biztosít, viszonylag rövid futási időkkel, a h = 0,01 választással. Mivel nagyobb d értékek mellett a kritikus t_c idő nagyobb, a test hosszabb ideig rezeg, érdemes az A-hoz közeli d értékek vizsgálatával kezdeni.

Az A = 56, 55 < d < 56 választás mellett a kritikus pillanathoz körülbelül másfél rezgés után érünk el (a frekvencia közben lassan csökken, hiszen a [d-k (t)] rugóállandó is csökken). Ekkor d < 55,5-re, a kitérés negatív, a sebesség pozitív, de annyira nagy, hogy a test a negatív rugóerő ellenére jelentős sebességgel halad át az origón, s attól kezdve gyorsulva fut a végtelenbe (2. ábra). A d = 55 érték felé közeledve ez a kifutás egyre lassul. d = 55,0001 mellett az x(t ) függvény már közelít a t-tengelyhez, de kis szög alatt átmetszi. A d = 55 értékre a görbe numerikus pontossággal belesimul a t -tengelybe, amint a 2. ábrán is láthatjuk. Ekkor tehát sikeres a vezérlés! Az, hogy az ilyen d értékek mennyire kivételesek, jól látszik abból is, hogy d = 54,9999 és d = 54,99-ra a kitérés a negatív végtelenbe tart. A tc értéknél fellépő sebesség ekkor már nem elég ahhoz, hogy a test a negatív irányból eljusson az origóig, s miután azt megközelítve visszafordul, a taszító rugó egyre messzebbre távolítja.

Az instabil állapot vizsgálata, a fázistér

Ez a tapasztalat jól mutatja, hogy az origó erősen instabil állapot. Vizsgálatára érdemes használni a dinamikai rendszerek módszertanából ismert eszközöket [3]. Tekintsük előszöris a (2) mozgásegyenlet hosszú idő elteltével érvényes alakját. Mivel t → ∞-re k(t) az A konstans értékhez tart, az egyenlet jobb oldalán (A-d)x áll. Mivel A > d, a zárójel pozitív, érdemes ezt s²-ként jelölni:

Az s mennyiség a taszítási paraméter. A mozgásegyenlet ezzel a rövidített jelöléssel

alakú, és egy időben konstans állandójú taszító rugó hatását írja le. Hosszú idő elteltével a kitérés általában nagy. A sikeres vezérléshez közeli esetekben azonban a (6) egyenlet érvényes ¦x¦ << 1 esetén is. Tegyük fel, hogy ilyen esettel van dolgunk, s indítsuk újra az időszámítást akkor, amikor a test már egy kis x₀ koordinátájú és kis v₀ sebességű állapotba került. Célunk ezzel annak megértése, hogy milyen a mozgás az origó környékén.

Vegyük észre, hogy a (6) egyenlet autonóm, ráadásul (éppen ezért) megoldható analitikusan. Mint minden lineáris, állandó együtthatós, homogén differenciálegyenletnek, megoldása kereshető exponenciális alakban. Az x = exp(λt ) feltevéssel a λ = ±s megszorításra jutunk, vagyis a λ kitevő csak a taszítási paraméter, s, vagy annak ellentettje, -s lehet. Az általános megoldás ezen alapmegoldások lineáris kombinációja. Könnyen ellenőrizhető, hogy a (6) egyenlet x(0) = x₀, v (0) = v₀ kezdőfeltételt kielégítő megoldása

alakú. A megoldás tehát két exponenciális összege, amelyek közül egy idő után a pozitív kitevőjű, exp(s t) tag válik dominánssá. Ez írja le a végtelenhez tartást. Mindez azonban csak akkor igaz, ha az sx₀+v₀ együttható nem nulla. Bizonyos kezdőfeltételekre azonban fennállhat, hogy sx₀+v₀ = 0, s ekkor

Ilyenkor tehát a test egyre csökkenő sebességgel az origóhoz tart. Ennek az esetnek kell tehát megvalósulnia sikeres vezérlés esetén.

Az origó körüli viselkedésről áttekintő képet a fázistérben kaphatunk, ahol a v = x sebességet ábrázoljuk az x kitérés függvényében. Fenti eredményünk azt mutatja, hogy a

egyenes mentén elhelyezkedő pontok éppen eljutnak az origóba, ha ¦x¦ << 1. Vagyis, ha jól meghatározott sebeséggel lökjük az instabil állapot felé a testet, akkor az megáll. A nulla sebesség elérése elvileg végtelen hosszú ideig tart, de gyakorlatilag az 1/s idő néhányszorosa után a test már nagyon jó közelítéssel megközelíti a nyugalmi állapotot. Az egyenesen kívüli kezdőfeltételek mind a végtelenbe vezetnek. A v = sx egyenes mentén levő pontoknak megvan az a sajátos tulajdonsága, hogy esetükben sx₀-v₀ = 0, és ők egyetlen exponenciálisan növekvő függvény szerint távolodnak, x(t) = x₀e^st.

A fázistér v = -sx egyenese a fentiek szerint azt a speciális mozgást írja le, amely az origóba történő eljutásnak felel meg. Ezt a görbét ezért az origó stabil görbéjének, a dinamikai rendszerek szóhasználatával stabil sokaságának [3] hívjuk. A v = sx egyenes, amelynek mentén az eltávolodás a leggyorsabb, az origó instabil sokasága. A 3. ábrán is látható, hogy a fázissíkot a stabil és instabil sokaságok négy síknegyedre osztják.

Általában is igaz [3], hogy a mechanikában előforduló minden autonóm rendszer instabil állapota ilyen típusú. A keresztalakzat megjelenése azt fejezi ki, hogy az instabilitás sohasem tökéletes. A fázistér egy elhanyagolhatóan csekély mértékű tartományából (a teljes sík egy vonalából) mindig el lehet jutni az instabil állapotba. (A hegyére állított ceruza állapotát instabilnak mondjuk, pedig kezdeti kitérítés esetén ott is találhatunk egy megfelelő kezdősebességet, amellyel meglökve az éppen megáll a függőleges helyzetben.) Az instabil állapotok tehát mindig nyeregpontok a fázistérben, olyan pontok, amelyekhez tartozik stabil és instabil sokaság.³

Számunkra a stabil sokaság bír különös jelentőséggel, hiszen a vezérlés csak ezen görbe mentén lehet sikeres. Örülhetünk annak, hogy alakját a (9) összefüggés szerint egzaktul ismerjük, de ez csak akkor igaz, ha a test már közel került az origóhoz. Mit mondhatunk az origótól távol eső pontok vezérlési esélyéről? A folytonosság miatt feltételezhetjük, hogy az origó stabil sokasága a teljes (2) egyenlet fázisterében is létezik. Ha tehát nem kötjük magunkat a t >> 1 feltételhez, az eredeti nem autonóm egyenlet fázisterében is találunk egy olyan görbét, amely hosszú idő után befut a (9) egyenesbe, s azon keresztül az origóba. Ezt a stabil sokaságot numerikusan kell megkeresni, s a kérdés az, hogy a (4) kezdőfeltétel adott d mellett ráesik-e az origó stabil sokaságára. Azon d értékek, amelyekre ez teljesül, a vezérlést biztosító d értékek. A 4. ábra mutatja, hogy d = 55 esetén az (1,0) pont valóban rajta van az origóba vezető stabil sokaságon. Autonóm rendszerekben a stabil sokaság nem metszheti önmagát. Mivel azonban rendszerünk nem autonóm, több metszéspontot is megfigyelhetünk. (Azt is mondhatjuk, hogy az igazi fázistér 3 dimenziós, amelyet x, v és a rugóállandóban megjelenő idő feszít ki, s mi az igazi, önmagát nem metsző sokaságnak az (x, v) síkra vett vetületét látjuk.)

A rugóállandó-spektrum

Vizsgáljuk ezek után, létezik-e még másik, vezérlésre alkalmas d érték A = 56 mellett. Ezt numerikusan úgy tehetjük meg, hogy programot írunk, amely az összes d értéket megvizsgálja Δd = 0,01 lépésenként a 0 < d < A operációs tartományban. Minden egyes d-hez numerikusan meghatározza az x(t) függvényt, s rögzíti annak értékét egy késő időpontban (például t = 30-ban). A program, amely a LabView grafikus programnyelven íródott [4], újabb és újabb d értékeket vesz mindaddig, amíg azt nem érzékeli, hogy a későbbi időpontban felvett x érték előjele különbözik az előző d-hez tartozó előjelétől. Ekkor megáll és kiírja az utolsó d értéket, amelynek környékén léteznie kell egy vezérlést megvalósító értéknek, hiszen itt simul hozzá az x(t) függvény a t-tengelyhez (vagyis ugyanaz zajlik le, mint a 2. ábrán, csak más d-re).

Ezzel a módszerrel összesen még három vezérlésre alkalmas d értéket találunk, amelyek 7, 31, és 47. A kitérés-idő függvény ezekre rendre negyed, háromnegyed és ötnegyed rezgés után tart az origóba. A fázistérbeli képen ennek megfelelően az origó elérése előtti rajzolat egyre bonyolultabb, és egyre több metszéspont figyelhető meg (5. ábra ). Vegyük észre, hogy az alacsonyabb d értékekre az origó egyre instabilabb, az (5) taszítási paraméterre rendre a 7, 5 és 3 értékeket kapjuk. Ennek megfelelően a nyeregpontra jellemző keresztalakzat egyre meredekebb a fázissíkon.

Az A = 56 paraméter esetén tehát összesen négy vezérlést biztosító kezdeti rugóállandó értéket találtunk a (4) kezdőfeltétellel. Az ilyen típusú feladatok a sajátérték-problémák körébe tartoznak: megoldások csak bizonyos diszkrét d_n = d₀, d₁, ..., d_nmax értékek mellett találhatók.

Az A paraméter más értékei mellett is ugyanezt a jelleget látjuk. A tapasztalat az, hogy A növelésével nő a sajátértékek száma. Az 1. táblázatban összefoglaljuk néhány jellegzetes A paraméter mellett a talált dn sajátértékeket, a rugóállandó-spektrumokat.

A táblázatból több érdekes szabályosság olvasható ki. Adott A mellett az (n+1)-edik és az n-edik sajátérték különbsége például 8 egész számú többszöröse. Egyszerű összefüggésre jutunk, ha észrevesszük, hogy a vizsgált A értékek két egymás utáni egész szám szorzataként írhatók,

ahol λ > 1. Az adott λ-hoz tartozó első sajátérték min- A = λ (λ 1), (10) dig λ-1, és d_n+1-d_n = 4λ-8(n+1). Ezek után könnyen felismerhető az általános szabály:

amely n = 0-tól a maximális n_max = [(λ-1)/2] értékig érvényes, ahol a szögletes zárójel az egész részt jelöli. A d_n sajátértékhez tartozó (5) taszítási paraméter: s_n =  λ-2n-1, amiből látszik, hogy minél kisebb n, annál instabilabb a probléma. Mivel minden pozitív szám írható a (10) alakban, érthető és numerikusan is ellenőrizhető, hogy a (11) rugóállandó-spektrum tetszőleges valós λ-ra is érvényes.

Mi a kapcsolat a modern fizikával?

Térjünk most át egy másik kérdéskörre, a kvantummechanikai energiasajátérték-problémára (a figyelmes Olvasó bizonyára már amúgyis észrevette a két feladat hasonlóságát). Mint ismert, az egydimenziós, sima V(x) potenciálban mozgó m tömegű részecske E energiáját a

stacionárius Schrödinger-egyenlet határozza meg [5-7], ahol ħ a Planck-állandó és a vessző az x helykoordináta szerinti deriválást jelöli. A Ψ(x) hullámfüggvénynek folytonosan differenciálhatónak kell lennie, és kötött állapotban nagy távolságokban nullához kell tartania. Ez az egyenlet mikroszkopikus részecskékre vonatkozik, és időtől független. Hogyan vethető össze a (2) makroszkopikus vezérlési problémával, amely a klasszikus fizika Newton-egyenlete?

Az ilyen távoleső problémák közötti lehetséges kapcsolat felderítésében nélkülözhetetlen segítség az egyenletek dimenziótlanítása [3]. A módszer nagyon egyszerű, és sok más esetben (például egyenletek numerikus megoldásra alkalmas alakjának megtalálásában) is hasznos. Az alapgondolat az, hogy minden problémának megvan a saját jellegzetes hosszúság- vagy időskálája. A Schrödinger-egyenlet esetén ilyen jellegzetes skála lehet a potenciál jellemző mérete, például félszélessége. Tekintsük távolságegységnek ezt az a mikroszkopikus hosszat az SI-rendszer méter (vagy nanométer) egysége helyett. Ez formálisan azt jelenti, hogy elvégezzük az x; → ax transzformációt. Az új x változó a dimenziótlan helykoordináta, amely megadja, hogy a távolság hányszorosa a a hosszegységnek. A bonyolult jelölésváltás elkerülése érdekében jelöljük V(x), Ψ(x)-szel a potenciál- és a hullámfüggvény dimenziótlan helykoordinátával kifejezett alakját is. Ha ennek szellemében vesszővel kívánjuk jelölni a dimenziótlan x szerinti deriváltat is, akkor figyelembe kell venni, hogy minden egyes eredeti x szerinti deriválás egy a-val való osztást hoz be. Mivel kétszeres deriválásról van szó, a dimenziótlan helyváltozóban érvényes Schrödinger-egyenlet

Most mindkét oldal energia mértékegységű. A bal oldalon álló E* = ħ²/(2ma²) konstans tekinthető a probléma jellegzetes energiaértékének. Ha a jobb oldalon levő energiát és potenciált ebben az E* egységben mérjük, akkor helyettük az e =  E/E*, (x) =  V(x)/E* dimenziótlan energia- és dimenziótlan potenciálfüggvény jelenik meg, és a

egyenletre jutunk. Az atomi méretekre jellemző a = 10^-10 m-rel, m = 9 · 10^-31 kg elektrontömeggel és a ħ =  10^-34 Js Planck-állandóval számolva az energiaegység E* = 5 · 10^-19 J ≈ 3 eV, ami valóban atomi kötésekre jellemző energiaérték. Az E összenergia ennek néhányszorosa, így a dimenziótlan egyenlet már nem függ az eredeti skáláktól, nem maradt benne semmilyen mikroszkopikus paraméter.

Ezen a ponton felismerhetjük, hogy a (14) dimenziótlan Schrödinger-egyenlet a már eddig is vizsgált (2) egyenlethez hasonló, sőt alakjuk az x↔ t csere után teljesen megegyezik!

Érdemes megjegyezni, hogy a vezérlés dimenziós (1) egyenletét, amelyet a D(t)= D-K(t) felbontással az

alakban írhatunk, hasonló eljárással hozhatjuk a (2) alakra. A rugóállandó időbeli változásának nyilván van egy jellegzetes ideje τ, amely lehet például az az idő, amely alatt a rugóállandó értéke a felére csökken. Az időt τ egységeiben mérve, a D* = m/τ² rugóállandó-egységet kapjuk, amellyel (15)-ből (2)-re jutunk.⁴

A dimenziótlan egyenletek ekvivalenciájának felismerése után természetesen vizsgálnunk kell a kezdeti és peremfeltételeket is. A vezérlés feltételeként megkövetelt x(t → ∞) = 0 megkötés teljesen megfelel a hullámfüggvény normálhatóságával kapcsolatos Ψ(¦x¦  → ∞) = 0 peremfeltételnek. A vezérlési probléma kezdőfeltételének kvantummechanikai megfeleltetése több figyelmet igényel. A Schrödinger-egyenlet a teljes V(x) potenciált vizsgálja, s nem szorítkozik annak csak a pozitív (x > 0) koordinátákhoz tartozó felére. Páros potenciálfüggvények, azaz V(x) = V(-x) esetén, a szimmetria miatt tudjuk, hogy létezniük kell páros hullámfüggvényeknek, s ezek a függvények az origóban vízszintes érintőjűek.Ők, az x ↔ t csere értelmében pontosan megfelelnek a (4) mechanikai kezdőfeltételnek. A páros sajátfüggvényekhez a teljes e_n energiaspektrum páros n indexű értékei rendelhetők. A páratlan indexű energiaértékek az origóban eltűnő pontszimmetrikus hullámfüggvényekhez tartoznak.⁵ A két probléma közötti megfeleltetés tehát az, hogy ha azonos alakú a dimenziótlan k (t) és (x) függvény, azaz, ha k (t) = (x=t) és ha (x) páros, akkor a dimenziótlan spektrumok megfelelnek egymásnak; a (4) kezdőfeltételhez tartozó vezérlési probléma dimenziótlan spektruma a

szabály szerint kapható meg az e_n dimenziótlan kvantummechanikai spektrumból. A példaként használt (3) függvénycsalád a kvantummechanikában a

dimenziótlan potenciálnak felel meg, az úgynevezett Rosen-Morse-potenciálnak [7, 8].⁶

Még egyszerűbb példát kapunk a parabolikus k (t) = t² rugófüggvény, (x) = x² dimenziótlan potenciál esetén, amely a V(x) = 1/2mω²x² harmonikus oszcillátor problémának felel meg az E* = ħω/2, a² = ħ/(mω) egységválasztással. A rugóállandó-spektrum az ismert [5, 6] lineáris E_n = ħω(n+1/2), e_n  = 2n+1 spektrumból következően d_n = 4n+1 alakú.⁷

Sajnos, az egzaktul megoldható kvantummechanikai problémák száma csekély [6, 7], ezért csak nagyon ritkán számíthatunk arra, hogy a d_n spektrum kifejezhető egyszerű képlettel. A vázolt numerikus eljárás azonban mindig célhoz vezet.

Feltehető az a kérdés is, hogy milyen kvantummechanikai feladatot oldunk meg a k (t) függvény megválasztásával. Mivel az idő pozitív, a potenciálnak pedig negatív x koordinátákra is értelmezettnek kell lennie, azt mondhatjuk, hogy (x) = k(t=x), negatív x-ekre pedig (x) = (-x). Vagyis, a (4) kezdőfeltételnek eleget tevő vezérlési feladat a k (t )-nak megfelelő potenciál páros kiterjesztését tartalmazó energiasajátérték- problémának felel meg, és abban is a páros sajátértékeket adja meg d_n. Így a d_n -hez tartozó vezérelt x(t) kitérés-idő függvény páros kiterjesztése a t → x helyettesítés után a (x) potenciál 2n-edik sajátállapotához tartozó hullámfüggvényt adja meg (6. ábra).

A t_c kritikus idő megfelelője az x_c kritikus távolság. Ez az a helykoordináta, ahol az összenergia megegyezik a potenciális energiával, vagyis, ahol a klasszikus fizika törvényeinek eleget tevő részecske visszafordulna. Az, hogy a kvantummechanikai feladatban a részecske véges valószínűséggel lehet az x_c-nél nagyobb távolságban is, az alagúteffektus jelensége. Éppen ez az a tartomány, ahol a vezérlési feladatban a rugóállandó negatív! A vezérlési és a kvantummechanikai probléma megfeleltetésének legfontosabb gondolatait foglalja össze a 2. táblázat.

A vezérlési feladat általánosabb, mint a kvantummechanikai feladat

Vizsgáljuk most meg, hogyan alakul a vezérlési feladat, ha az x(0) = 1 helyzetből nullától eltérő v₀ ≠ 0 kezdősebességgel indítjuk a testet. A v0 = 1 értékkel A = 56-ra a numerikus megoldást követve azt tapasztaljuk, hogy d = 7 körül nem sikeres a vezérlés, de d = 9,526-ra sikeressé válik. Ez szemléletesen is érthető, hiszen, ha a test kezdetben határozottan távolodik az origótól, akkor a kritikus idő (amely független v₀-tól) eltelte után még viszonylag messze van az origótól, így a taszító erő d = 7 körül még kiveti a pozitív végtelenbe. Az origó pozitív irányból való lassú elérése csak valamelyik nagyobb d értéknél válik lehetővé. A 7. ábrán a kitérés-idő függvényen kívül a fázistérbeli rajzolatot is láthatjuk, amely topológiailag azonos a d = 7, v₀ = 0 értékhez tartozóval (5.a ábra). Az (1, v₀) kezdőpont természetesen rajta van az origó stabil sokaságán, ha d = 9,526.

Ez a megfigyelés azt sugallja. hogy minden egyes v0 dimenziótlan sebességhez tartozhat egy d_n (v₀) rugóállandó- spektrum. A numerikus tapasztalat ezt alátámasztja, amint azt a 3. táblázat néhány esetre bemutatja.

Az a szabály olvasható le, hogy pozitív kezdősebességek az eredeti sajátértékeket növelik, a negatívak csökkentik. Különösen érdekes a v₀ = -2 eset, amikor nem találunk sajátértéket a 0 < d < 7 tartományban. A kezdősebesség ekkor olyan nagy negatív szám már, hogy a pozitív értékek felől oszcillálás nélkül az origóba tartó megoldás már nem is létezhet. Nagyobb n-ekre a kezdősebesség hatása egyre kisebb, a függvények egyre később csengenek le, és rájuk a kezdeti meredekség-változás kisebb hatással van.

A vezérlési és a kvantummechanikai probléma fenti összehasonlítása alapján felmerül a kérdés: mondhatjuk ezek után, hogy a v₀ ≠ 0 esetekkel a (x) = k(t=x) potenciál újabb kvantummechnikai sajátértékeket fedeztünk fel? Semmiképpen sem! A vezérlés véges meredekséggel induló x(t) függvényének x tengelyre vett tükrözésével kapott páros kiterjesztése ugyanis megtörik az origóban. Ez nem feleltethető meg kvantummechanikai hullámfüggvények, hiszen Ψ-nek differenciálhatónak kell lennie (különben például nem lenne egyértelműen értelmezhető rá az impulzusoperátor: a deriválási operátor hatása). A levonható konklúzió az, hogy a vezérlési probléma bővebb, mint a kvantummechanikai,⁸ mert több megoldása létezik, mint a kvantummechanikainak, hiszen minden v₀ értékhez (nem csak v₀ = 0-hoz) tartozhat egy rugóállandó-spektrum. Ennek oka, hogy a klasszikus x(t ) függvényre kevesebb megszorítás létezik, mint a hullámfüggvényre. Ugyanakkor azonban a vezérlési probléma minden egyes v₀-nál ugyanolyan (akár analitikus) módszerekkel oldandó meg, mint a Schrödinger-egyenlet.

Annak más oldalról történő megvilágítására, hogy a kvantummechanikai probléma megoldása bonyolultabb, több megkötésnek tesz eleget, mint a mechanikai, érdemes röviden kitérni az általános, azaz nem páros, egyetlen minimumú (x) potenciál esetére. Válasszuk az origót a potenciál minimumának. A pozitív és a negatív x értékekhez tartozó potenciálból pozitív időkre két különböző rugófüggvény definiálható k₁(t) = (t=x>0) és k₂(t) = (t=-x>0). Mivel a hullámfüggvénynek mind a pozitív, mind a negatív végtelenben el kell tűnnie, a megfelelő vezérlési feladatban két különböző differenciálegyenletet kell megoldanunk, mindkettőt pozitív időkre, s ugyanazzal a d-vel:

A kezdőfeltétel az, hogy az 1-es esetben x₁(0) = 1, v₁(0) = v₀, a másik esetben viszont x₂(0) = 1, v₂(0) = -v₀, ugyanis az x₂ megoldás x-tengelyre való tükrözésével kapott teljes megoldás: Ψ(x>0) = x₁(t=x), Ψ(x<0) = x₂(t=-x) csak így lehet folytonosan deriválható az origóban. Az energiaspektrum megtalálása azt jelenti, hogy minden egyes véges v₀ és d mellett végig kell próbálnunk, hogy vezérelhető-e mindkét feladat egyszerre.

Összefoglalás

Megmutattuk, hogy létezik egy időfüggő vezérlési feladat, amely szoros hasonlóságot mutat az egydimenziós kvantummechanikai energiasajátérték-problémával, amennyiben a helykoordinátában páros potenciálokat vizsgálunk. Még ekkor is, a vezérlési feladatnak jóval több diszkrét megoldása létezik, mint a kvantummechanikainak, mert a vezérelt részecskének lehet kezdősebessége is. A sikeres vezérlés mindig egy instabil pont (az origó) elérését jelenti, ami csakis a stabil sokaság mentén lehetséges. A vezérlés feltétele tehát úgy fogalmazható meg, hogy a kezdőfeltétel essen rá az origó stabil sokaságára. A dinamikai rendszerek szemlélete új megvilágításba helyezi a klasszikus kvantummechanikai energiasajátérték-problémát is.

Köszönetnyilvánítás

Köszönjük Varga Balázs tanár úrnak (Eötvös József Gimnázium, Budapest), hogy olyan modern fizikai órákat tartott, amelyek alapján a 11-edikes diákban felmerült a kérdés: mi lehet a Schrödinger-egyenlet időbeli megfelelője. Ez vezetett el a bemutatott gondolatmenethez.

Irodalom

1. Nagy Károly: Elméleti Mechanika. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002.
2. W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling: Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 2002.
3. Tél Tamás, Gruiz Márton: Kaotikus Dinamika. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002.
4. http://ni.com/labview
5. Marx György: Kvantummechanika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1971.
6. F. Constantinescu, E. Magyari: Kvantummechanika Feladatok. Tankönyvkiadó, Budapest, 1972.
7. L. D. Landau, E. M. Lifsic: Kvantummechanika. Tankönyvkiadó, Budapest, 1978.
8. N. Rosen, P. M. Morse, Phys. Rev. 15 (1932) 210.

_________________________

1. A rugóállandó szóhasználat annyiban jogos, hogy D(t) továbbra is független a kitéréstől.
2. A vezérlés olyan beavatkozási forma, amelyben a betáplált adat után a rendszernek - szemben a szabályozással - nincs visszahatása önmagára.
3. A stabil sokaságra szorítkozva az origó stabilnak mutatkozik, a teljes fázissíkon azonban instabil.
4. Makroszkopikus m = 1 kg, τ = 1 s adatokkal D* = 1 kg/s² = 1 N/m.
5. Ezeket az x(0) = 0, v(0) = 1 kezdőfeltétellel kaphatnánk meg a vezérlési problémában, de ezzel a kezdőfeltétel-családdal a terjedelmi korlátok miatt nem foglalkozunk.
6. Ennek dimenziótlan energiaspektruma egzaktul ismert az e_n = λ(λ-1)-(λ-n-1)² alakban, 0 ≤n ≤ (λ-1).
7. Ha k(t) = λ²t², (x) = λ²x², ahol λ > 0 tetszőleges szám, akkor az E* = ħω/(2λ), a² = ħλ/(mω) választással az e_n = (2n+1)λ dimenziótlan spektrumra jutunk, amelyből d_n = (4n+1)λ. Ugyanez következik (11)-ből is a nagy λ határesetben, véges n-ekre. Ennek oka az, hogy a (3) rugófüggvény parabolikusan indul: k(t) = λ(λ-1)t², és nagy λ-ra λ(λ-1) ≈ λ².
8. Hacsak nem tételezünk fel az origóban még egy v0-val arányos Dirac-delta potenciált is. Az azonban, hogy az amúgyis mikroszkopikus eredeti problémában egy még sokkal kisebb hatótávolságú kölcsönhatást is beépítsünk, nehezen motiválható.