Fizikai Szemle honlap

Tartalomjegyzék

Fizikai Szemle 2008/9. 311.o.

FIZIKÁZZUNK EGYSZERŰEN, SZÁMÍTÓGÉPPEL

Eichhardt Iván, Jaloveczki József
Mandelbrot Tudományos Diákkör
Szent László ÁMK, Baja

Közismert, hogy a diákok szeretnek számítógéppel játszani. Szerencsére ma már sok gyereknek van otthon is gépe, de akiknek nincs, azok is hozzáférhetnek az iskolában. Az is közismert, hogy többségük nemigen szereti a fizikát, matekot. E tantárgyak megkedveltetéséhez szeretnénk a PC népszerűségét felhasználni. Szinte játékosan lehet Newton törvényeit, a mozgások leírását megtanulni, emellett számos függvényábrázolást és a függvények tulajdonságait megismerni. Programunk egy pontszerű test egy- és/vagy kétdimenziós mozgását modellezi. Az Excel-program a megadott paraméterek alapján dt időközönként számolja a test hely, sebesség, gyorsulás adatait, majd ezeket ábrázolja az idő függvényében. Kétdimenziós mozgásnál az a gyorsulást, a v sebességet és az r helyet az x és y komponensekből számolja Pitagorasz tételével.

Érdekes lehet a testre ható eredő erő hely szerinti változása, amit szintén megtekinthetünk a program futása során. Kétdimenziós mozgásnál nagyon szemléletes a pályagörbe (x−y sík) kirajzolása. Megnézhetjük a fázissíkbeli ábrát is, ami nem más, mint a hely (x, y vagy r ) − sebesség (v) grafikon. Az ilyen ábrázolást főleg a periodikus mozgásoknál és a gerjesztett, súrlódásos eseteknél érdemes tanulmányozni. Utóbbiaknál a mozgás kaotikusságát is el lehet érni, ami jól látszik azon, ahogyan a test mozgása alakul a kezdeti feltételek kis változásaira.

Néhány kipróbálásra érdemes esetet mutatunk be az egészen egyszerűtől a bonyolult erőtörvényig. Az egyes eseteken belül számtalan kezdeti paraméterértékkel lehet játszani. A játékkal jól fejleszthető a dinamikai szemlélet, fejleszti a matematikai és informatikai kompetenciákat is. A program jól használható a középiskolai 9. évfolyamos fizikaoktatásban az erő- sebesség (m/s) törvények tanításánál, érettségire előkészítő órákon, szakkörökön és azon kívül is bármikor.

A programban szereplő általános erőtörvényt egydimenziós esetben skalárként, illetve kétdimenziós esetben már vektorként kezelve az alábbiakban foglalhatjuk össze:

F = F0D · l − µ · m · g − k · v − C · v2 + A · cos(ωt + φ) .

Tehát a testre ható F erő állhat egy F0 állandó irányú és nagyságú erőből, egy Dl alakú rúgóerő típusú erőből, ahol D a rugóállandó, l pedig a rugó megnyúlása a nyugalmi hosszához képest, továbbá disszipatív tagokból, mint a µmg súrlódási erő (µ a súrlódási együttható, m a test tömege, g a nehézségi gyorsulás), és a sebességtől függő közegellenállási erőkből (kis sebességeknél ez lineáris, együtthatóját k -val jelöltük, míg nagy sebességeknél v2-tel arányos, együtthatóját C-vel jelöltük), befejezésképpen még tartalmaz egy periodikus kényszererőtagot (amplitúdója A, körfrekvenciája ω és relatív fázisa φ).

A program futtatásához meg kell adni a kezdőadatokat, a beviteli mezőben lévő cellák tartalma:

E5: időköz
G5: a választott időközhöz kiszámolja, hogy az intervallumban milyen a sebességnövekedés (%-ban) és az összes érték közül a maximálist írja ki. Célszerű úgy választani időközt, hogy ez az érték az 5%-ot ne haladja meg. A közelítés akkor még jónak vehető.
K5: tömeg
B6: Az x irányú periodikus erő körfrekvenciája
B7: Az x irányú periodikus erő kezdőfázisa
B8: Az x irányú periodikus erő amplitúdója
D6; D7; D8: a fenti háromnak felel meg csak az y irányra
F6; H6: a sebesség négyzetével arányos közegellenállás tényezője (y és x irányra)
E8; H8: a sebességgel egyenesen arányos közegellenállás tényezője (y és x irányra)
E7; H7: A testre ható állandó erő (y és x irányú komponensek)
L6; N6: a test kezdeti helykoordinátái (y0 és x0) L8; N8: a testre ható súrlódási erő (vízszintes felületen, gravitációs mezőben) felületi tényezői (y és x irányokban)
Q5; Q10: a test kezdeti sebessége (x és y irányokban)
P6; P11: a testre ható rugalmas erő direkciós ereje (x és y irányokra)
Q8; Q13: a testhez kapcsolt rugó nyújtatlan hossza (x és y irányokban)

A program a szükséges paraméterek (tömeg, súrlódás, közegellenállási tényezők stb.) bevitele után a kezdeti hely- és sebességadatokból az erőtörvény alapján kiszámolja az erő (x, y) komponenseit (L19; M19). Ezekből (a tömeg figyelembe vételével) a gyorsulásokat (C19; D19). Ezeket az adott intervallumban állandónak tekintjük. A gyorsulások ismeretében meghatározza az új sebességeket (v0+aΔt alapján,

1. ábra

F20; G20), majd ezekből trapézközelítéssel (az intervallumra átlagsebességet véve) az új x és y értékeket:

képlet

Így kicsit pontosabb, mint ha az intervallum elején vett sebességgel számolnánk. Az első hely-, illetve sebességkoordináták a felhasználó által megadott kezdeti értékek (L6; N6; Q5; Q10). Az új sebesség- és helykoordinátákkal az erőtörvényből újabb erőkomponenseket számol (L20; M20) és így tovább körülbelül 20 000 lépésben. A mozgás teljes ideje a lépések száma szorozva a dt intervallummal. Közben a gyorsulás nagyságát (E19) és az erő nagyságát (N19) is kiszámolja, valamint az r helyet a komponensekből, Pitagorasz-tétellel.

képlet

Az 1. egyenletben Newton II. törvénye alapján számoljuk az x irányú gyorsulást. Az erő függhet a test helyétől és sebességétől, valamint az időtől. Speciális esetben az erő állandó.

2. ábra

A 2. összefüggés a sebességváltozás (x irány) az adott intervallumban.

A 3. egyenletben az intervallum elején lévő sebességhez hozzáadjuk a változást, így megkapjuk az időszakasz- végi sebességet (x irányra).

A 4. egyenlet az adott időszakaszban történt x irányú elmozdulást számolja trapézközelítéssel.

Végül az 5. egyenlet az eredeti hely x értékét korrigálja a kis elmozdulással.

Az y irányú jellemzők kiszámítása teljesen hasonló egyenletekkel történik. Az iterációs eljárást kétdimenziós mozgásnál mindkét irányra elvégzi a program körülbelül 20 000 lépésig (n), azaz a mozgás nyomon követhető t = n · dt ideig.

Valamint érvényesek még az

képlet

összefüggések is.

Most nézzünk néhány példát.

Egydimenziós, csillapított rezgés

Az erőtörvény: F = −Dx · (l0x − x) − kx · vx.

Az 1. ábrán jól látható ahogy a test mozgása csillapodik. A mozgás kezdeti feltételei: a test m tömege 2 kg, kezdeti x0 kitérése 0,8 m, a Dx rugóállandó 50 N/m, a kezdeti l0x rugóhossz 0,4 m és a kx közegellenállási tényező 1. A számolást dt = 0,0005 s időintervallumokra végeztük 20 000 lépésben.

A 2. ábrán ugyanaz a mozgás látható az iterációs intervallumok tízszerezésével, így a megfigyelt mozgás ideje is tízszeresére növekedett, az időtartam végén szinte nyugalomba került a test.

Hajítás 45°-os szögben, közegellenállással

Az erőtörvény: Fx = − Cx · v2x és Fy = mg − Cy · v2x.

A 3. ábra jól mutatja, hogy a közegellenállásos hajításnál a sebesség nem egyenletesen változik, a pályavonal nem parabola. A mozgás kezdeti feltételei: a test m tömege 2 kg, kezdősebességének komponensei: v0x = v0y = 10 m/s, a közegellenállási tényező: |Cx| = |Cy| = 0,3 és a közegellenállás természetesen mindig lassítani igyekszik a test mozgását. A számolást dt = 0,0008 s időintervallumokra végeztük 20 000 lépésben.

3. ábra 4. ábra

Merőleges rezgések összetétele, Lissajous-görbe

Az erőtörvény: Fx = −Dx · (l0x − x)  és   Fy = −Dy · (l0y − y)

A pontszerű test egyidejűleg végez rezgőmozgást egymásra merőlegesen, eltérő amplitúdóval és frekvenciával (4. ábra). A mozgás kezdeti feltételei: a test m tömege 2 kg, kezdeti x0 és y0 kitérése egyaránt 0,6 m, kezdősebessége v0x = 1 m/s, valamint v0y = 4 m/s, a rugóállandó komponensei Dx = 50 N/m, míg Dy = 80 N/m, a kezdeti rugóhossz l0x = 0,2 m, illetve l0y = 0,4 m. A számolást dt = 0,0005 időintervallumokra végeztük 20000 lépésben.

Kétdimenziós, csillapított és gerjesztett rezgés

E mozgás erőtörvényében csak a súrlódási tag hiányzik az általános erőtörvényben leírtakból. Az 5. ábrán látható mozgás kezdeti feltételei: a test m tömege 1 kg, kezdeti x0 és y0 kitérése egyaránt 0,1 és 0,2 m, kezdősebessége v0x = 6 m/s, valamint v0y = 8 m/s, a rugóállandó komponensei Dx = 120 N/m, míg Dy = 90 N/m, a kezdeti rugóhossz l0x = l0y = 1 m. A gerjesztő erő jellemzői: körfrekvenciája: ωx = 2 Hz és ωy = 3 Hz, fázisa: φx = 5° és φy = 3°, míg amplitúdója: Ax = 10 N és Ay = 7 N. A közegellenállási tényezők: |Cx| = 0,2 és |Cy| = 0,1, valamint kx = ky = 1. A számolást dt = 0,0005 s időintervallumokra végeztük 20 000 lépésben. A pályagörbét szemlélve a mozgás kaotikusnak tűnik.

5. ábra
5. ábra
5. ábra

Véletlenszerűen beállított értékekkel számtalan érdekes “kaotikus” ábrát kaptunk. A fentebb felsorolt esetektől eltérő beállításokkal is lehet próbálkozni. Jó szórakozást kívánunk diáknak, tanárnak egyaránt! Készítettünk egy kis animációs programot (rugó.exe), ami beállítható paraméterekkel mutatja be a mozgást. Ehhez azonban segédprogram telepítése is szükséges. Mindkettő megtalálható és letölthető a http://www.karolyireneusz.extra.hu/e107/download.php?list.3 címen. Ugyanitt megtalálható az Excel-program dinamika néven. Hozzászólásokat, véleményeket és kérdéseket szívesen fogadunk a jalo@freemail.hu címen.