Fizikai Szemle honlap

Tartalomjegyzék

Fizikai Szemle 2005/9. 297. o.

A SZIVÁRVÁNY FIZIKÁJA - I.
Az esőcseppek fényszórási jelenségei

A szivárvány a természet csodálatos tüneménye, amely számtalan festőt, költőt megihletett (például Arany János: A gyermek és szivárvány ), valamint számos fizikus is tanulmányozta a jelenséget. Azt gondolhatnánk, hogy a szivárvány jelenségének értelmezése az egyszerű geometriai optika keretén belül régóta megoldott probléma, s csak történeti jelentősége van. Meglepő módon azonban, kielégítő elméleti magyarázatot csak a XX. század elején sikerült kidolgozni. Ráadásul ez az elmélet több, mint geometriai optika, magában foglalja mindazt, amit a fény természetéről tudunk. Így például a szivárvány leírásához figyelembe kell venni a fény hullámtermészetét is. Végső soron a szivárvány létrejötte annak tulajdonítható, hogy az elektromágneses tér (fény) egy közel gömb alakú vízcseppen szóródik. Ezt a szórási jelenséget egyáltalán nem egyszerű leírni a Maxwell-egyenletek alapján. Az interferencia, a fényelhajlás és a fény polarizációja egyaránt lényeges a jelenség megértésében. A századok alatt több neves kutató tanulmányozta a szivárványt, és eredményeik alapvetően alakították a fizikának egy, napjainkban is izgalmas területét, az optikát. A szivárványt akkor láthatjuk, ha az előttünk hulló esőcseppekre a mögöttünk lévő Nap rásüt. Alakja körív. A természetben a szivárványnak két fő íve figyelhető meg: a főszivárvány és a halványabb mellékszivárvány. A főszivárványban a belső körív kék, míg a külső vörös színű. A mellékszivárványban a színek sorrendje fordított, a belső körív vörös, a külső kék. Alaposabb megfigyelésekből kiderül, hogy a két szivárvány íve közti tartomány jelentősen sötétebb, mint az ég más része. Ezt a sötét sávot az ókori Aphrodisias Alexander tiszteletére, aki i.e. 200-ban figyelte meg ezt a jelenséget, Alexander-féle sötét sávnak nevezik. Az interneten több helyen is találhatunk fényképeket a szivárványról, például [1] internetcímen látható képen jól megfigyelhető a szivárvány mindkét íve és a köztük levő sötét sáv is. Egy másik jelenség (sajnos csak ritkán figyelhető meg), hogy a főszivárvány alatt további járulékos íveket látunk (angolul supernumerary arcs ), egy kitűnő felvétel található [2] internetcímen. Mint látni fogjuk, ezen járulékos ívek létrejöttének a megértése alapvető szerepet játszott a szivárvány elméletének kidolgozásában.

Arisztotelész még úgy vélte, hogy a szivárvány a napfény felhőkön történő visszaverődésének a következménye. Ez az állítás egyáltalán nem volt nyilvánvaló a kor akkori elképzelései alapján, ugyanis korábban úgy gondolták, hogy a szivárvány egy anyagi objektum az ég egy meghatározott helyén. A szivárvány ívének szögét elsőként Roger Bacon mérte meg 1266-ban, és eredményei szerint főszivárványra a szivárvány ívének egy pontjából a Nap felé és a megfigyelő felé mutató irány 42°-os szöget zár be. Mellékszivárványra ez a szög 50°. Jelentősebb előrelépés a szivárvány megértésében Arisztotelész után csak 17 évszázad elteltével a német Theodoric Freiberg szerzetesnek köszönhető. Elutasította Arisztotelész hipotézisét, miszerint a szivárvány a fénysugaraknak a felhőben lévő összes esőcseppen történő együttes visszaverődésének a következménye. Mérésekkel igazolta, hogy a szivárvány létrejöhet a fény egyetlen vízcseppről történő visszaverődésével is. Kísérleteihez gömb alakú, vízzel töltött üvegpalackot használt, és megfigyelte a szivárványt létrehozó fénysugarak menetét.

Freiberg eredményeit lényegében három évszázadon át elfelejtették. René Descartes 1637-ben mutatta meg újra - Freibergtől függetlenül -, hogy a főszivárvány keletkezésénél a fény először megtörik a vízcsepp felületén, majd a vízcsepp belső felületén egyszer visszaverődik, és aztán ismételt fénytöréssel kilép a vízcseppből [3]. A mellékszivárvány esetében a vízcseppen belül két visszaverődés történik. 1. ábrán látható a különböző színű fénysugarak törése a fő-, illetve mellékszivárvány kialakulásakor. Freiberg és Descartes megállapították, hogy a szemünkbe érkező különböző színű fénysugarak eltérő vízcseppekből jönnek. A szivárvány egységes geometriai optikai értelmezése Descartes nevéhez fűződik. Számításai során a ma már jól ismert töréstörvényt, mai nevén Snellius-Descartes-törvényt alkalmazta:

ahol a beesési szög, a törési szög, és n az anyag törésmutatója.1

A szivárvány jelenségének irodalma óriási. Bevezetésként, a téma egyik kiemelkedő szakértője, H. Moysés Nussenzveig népszerűsítő cikkét [6], Honyek Gyula Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapokban megjelent írását [7] és Czelnai Rudolf meteorológusképzésben használt egyetemi jegyzetét [8] ajánlhatjuk az olvasónak. A matematikai részletek iránt érdeklődők számára a leideni professzor, Hendrik Christoffel van de Hulst [9] klasszikusnak számító könyvét, Milton Kerker [10] fényszórásról írt könyvét és John A. Adam [11] hosszú, összefoglaló cikkét javasoljuk. A szivárványnak a tudománnyal és a művészettel való kapcsolatáról Raymond L. Lee és Alistair B. Fraser közelmúltban megjelent és gazdagon illusztrált könyvét [12] ajánljuk.

A továbbiakban áttekintjük a szivárvány fizikájának legfontosabb elemeit, és igyekszünk nyomon követni a jelenség megértésében történeti szempontból is mérföldkőnek számító elméleti eredményeket. Elsőként részletesen ismertetjük Descartes geometriai optikán alapuló elméletét. A következő, II. részben a polarizáció szerepét, Thomas Young interferenciaelméletét, majd George Biddell Airy elméletét taglaljuk. A dolgozat III. részében vázoljuk a múlt század elején Gustav Mie által kidolgozott legpontosabb elméletet, illetve a modern matematikai módszerekkel kapott közelítő eredményekről adunk rövid áttekintést, beleértve a témához szorosan kapcsolódó koszorú- és glóriajelenséget is. A következő fejezetben szólunk a szivárvány és a kvantummechanika kapcsolatáról. Végül az összefoglalóban további, a témával kapcsolatos kérdéseket említünk meg.

Megjegyezzük, hogy a cikk ábráinak egy része a Mathematica programmal készült, és eredetileg színesek. Az érdeklődők [13] internetcímen tekinthetik meg az eredeti ábrákat.

Geometriai optikai leírás
Descartes-elmélet

A 2. ábrán látható, ahogy a vízcseppre érkező fénynyaláb egy része visszaverődik a csepp külső felületéről, egy bizonyos része megtörik, majd keresztülhaladva a vízcseppen, ismételt töréssel kilép abból, illetve más része a vízcsepp belső felületén egyszer (esetleg többször) visszaverődik. A vízcseppen belül haladó fénysugár a csepp belső felületén történő p - 1 számú visszaverődés során p darab húr mentén halad. Fő- és mellékszivárványra p = 2, illetve p = 3, és a továbbiakban p-ed rendű szivárványról akkor beszélünk, amikor a vízcseppen belül a húrok száma p. Később látni fogjuk, hogy szivárvány csak p > 1 esetén lehetséges. Míg a természetben p > 3 rendű szivárványt nem figyeltek meg, Billet -nek már 1868-ban sikerült kimutatni a 20-ad rendű szivárványt is vékony vízsugarat megvilágítva (a hivatkozás megtalálható Walker [14] cikkében).

Tekintsük a 3. ábrának megfelelő R sugarú, n törésmutatójú vízcseppbe ütközési paraméterrel vízszintes irányból érkező fénysugár menetét a főszivárványra (p =2)! A beesés szögére igaz, hogy 0° < < 90°. Az ábra alapján világos, hogy , másrészt a P pontban az (1) Snellius-Descartes-törvény szerint: . A vízcseppbe bemenő és abból kilépő fénysugarak közti eltérülés szöge (továbbiakban szórási szögnek nevezzük): . A Napból jövő és a szemünkbe érkező fénysugarak közti szög: (Bacon kísérleteiben ezt a szöget mérte ki). Teljesen hasonló számítással kapható a szórási szög abban az általános esetben is, amikor a vízcsepp belső falán a fénysugár többször visszaverődik. Könnyen belátható, hogy a szórási szög p -1 számú belső visszaverődés esetén:
. Az (1) egyenletet felhasználva a szöget kifejezhetjük a

dimenziótlan ütközési paraméterrel:

A fenti képlet szerint nagyobb lehet -nél, ezért a gyakorlati számításoknál a szöget a (0,) intervallumba képezzük:

ahol j egész szám. (Hasznos tanács: numerikus számításoknál bármely x szöget az arccos(cos(x)) függvénnyel könynyedén képezhetjük a (0,) intervallumba.) A 4. ábra a szórási szögeknek a b ütközési paramétertől való függését mutatja p = 0, 1, 2, 3 értékekre. Két fontos megállapítás tehető az ábra alapján. Egyrészt látható, hogy p > 0 esetén értéke b = 1-nél (azaz a vízcsepp felszínéhez érintőlegesen érkező fénysugár esetén) zérustól különböző érték:

ahol a vízre vonatkozó teljes visszaverődés határszöge, azaz sin = 1/n. Későbbiekben látni fogjuk, hogy a * szögnek fontos szerepe lesz a szórási hatáskeresztmetszet számításában és az interferenciajelenségek vizsgálatában is.

A másik fontos, a 4. ábrából világosan látható tény az, hogy a szórási szögnek p > 1 esetén szélsőértéke van b függvényében. A továbbiakban szükségünk van -nak a b szerinti első deriváltjára, melyet könnyen megkaphatunk a (3) képletből:

A szélsőérték helye a d /db = 0 feltételből adódik:

Később igazolni fogjuk azt a - már ezen szélsőérték-számítás során kialakuló - sejtést, hogy a szivárványból kilépő legintenzívebb fénysugár az beesési szögben érkezik a vízcsepphez. Ezt a speciális sugármenetet az irodalomban szokásos módon, és Descartes tiszteletére, nevének latin megfelelője szerint Cartesius-sugárnak nevezzük, és a c index is a Cartesius névre utal. Kiszámíthatjuk a szórási szöget is ezen szélsőértékhelyen:

Az 5. ábrán különböző ütközési paraméterrel beérkező párhuzamos fénysugarak geometriai optika alapján számolt menete látható. A vastagvonal a Cartesius-sugármenetet jelöli. A Cartesius-sugármenet közelében beeső párhuzamos sugarak a vízcseppből kilépve közel párhuzamosak maradnak, ami egy erősen kollimált nyalábot eredményez. Más esetekben a nyaláb a vízcseppből kilépve szétszóródik. Így a Cartesius-sugármenetnek kitüntetett szerepe van. A szivárványt ebből az irányból látjuk leginten- zívebbnek. Az 1. táblázatban összefoglaltuk a különböző színek esetére (az 1. ábra feliratában megadott törésmutatókkal) számolt - szögeket. Látható, hogy fő- és mellékszivárványban a színek sorrendje fordított. Csak érdekességképpen jegyezzük meg, hogy az 1. ábrán látható mellékszivárványnál a vízcseppen belül a Cartesius-sugár nagyon jó közelítéssel egy négyzet oldalélei mentén halad.

A továbbiakban a kvalitatív megállapításon túl, matematikailag is megmutatjuk, hogy a vízcseppekről szóródó különböző színű fény a fenti szögekben látható a legerősebb intenzitással. A kilépő fény intenzitását egyrészt a vízcseppen történő szóródási folyamat, másrészt a fény polarizációja határozza meg. Az előbbi jelenséget, a mai modern elméletek alapján, a szórócentrum differenciális hatáskeresztmetszetével szokás vizsgálni. Egy adott térszögbe szóródó fény intenzitása arányos a szórócentrum differenciális hatáskeresztmetszetével. Így a Descarteselmélet keretein belül a klasszikus hatáskeresztmetszet szögfüggése ad választ arra a kérdésre, hogy milyen irányból látjuk a szivárványt.

A polarizáció szerepét csak a fény transzverzális hullámtermészetének felfedezése után ismerték fel. Egy törőfelületen a beeső fény egy része a polarizációtól függő mértékben visszaverődik, másik része megtörik. A visszavert és a megtört nyaláb intenzitása a beesés szögétől függ. A polarizációról a későbbiekben még részletesebben szólunk. A fény polarizációjának figyelembevétele túlmutat a Descartes-féle elméleten. Amint azt látni fogjuk, a szivárvány szögének kiszámításához elegendő a klasszikus hatáskeresztmetszet ismerete, nincs szükség a polarizációra. Ezért lehetett a Descartes-elmélet olyan sikeres már a polarizáció felfedezése előtt is. Azonban a kilépő fény intenzitásának pontos szögfüggését csak a fény hullámtermészetére jellemző interferenciaképesség és polarizáció figyelembevételével együtt határozhatjuk meg. A későbbiekben összehasonlítjuk a Descartes-elméletet azokkal az elméletekkel, melyekben a fény hullámtermészetét is számításba vették. Előtte azonban, ismertetjük a szórási szöget meghatározó klasszikus hatáskeresztmetszet kiszámításának alapjait.

A klasszikus szórási hatáskeresztmetszet

A fény vízcseppen való szóródását a differenciális hatáskeresztmetszettel célszerű jellemezni. A klasszikus hatáskeresztmetszet definíciója megtalálható például a [15] könyvben. Idézzük fel röviden a klasszikus hatáskeresztmetszet definícióját a vízcseppeken való fényszóródás kapcsán! A vízcsepphez a Napról párhuzamos fénynyaláb érkezik, azaz nem egyedi fénysugarak eltérülését kell vizsgálni. Jelölje dI annak a fénynyalábnak az intenzitását (részecskék szórásánál a részecskék számát), amely a és + d szög közé szóródik! (Az adott szögtartományba szóródó energiát a szórócentrum köré rajzolt egységnyi sugarú gömb felületén vett intenzitással mérik.) Ha a bejövő párhuzamos fénysugarakra merőleges keresztmetszeten, egységnyi felületen áthaladó nyaláb intenzitása S0, akkor a irányba szóródó sugarak differenciális hatáskeresztmetszete definíció szerint . Ez területdimenziójú mennyiség. Először tegyük fel, hogy a szórási szögés a ütközési paraméter között kölcsönösen egyértelmű a kapcsolat, azaz az ütközési paraméter monoton függvénye.2 A és + sugarak által határolt körgyűrűn áthaladó fénynyaláb intenzitása . Így a differenciális hatáskeresztmetszet , amely kifejezhető a szóródás szögével, vagy a térszöggel:

A képletben a derivált abszolút értéke szerepel, figyelembe véve, hogy a derivált negatív is lehet. Ha a többértékű függvény (mint például a szivárványnál), akkor a függvény egyes ágainak megfelelően, külön-külön kell kiszámítani az egyes járulékokat a differenciális hatáskeresztmetszethez. Általában a szórási szöget ismerjük a ütközési paraméter függvényében. Ezért először a (9) képlet szerint meg kell határozni a függvény inverzét, azaz a függvényt, majd ennek deriváltját.

Vizsgáljuk a főszivárvány (p = 2) esetét!3 A (3) egyenletben megadott függvény inverzét algebrai átalakítások után a következő egyenletből kaphatjuk meg:

Ez egy negyedfokú egyenlet -re, és két pozitív gyöke van (a másik kettő negatív gyök). Jelöljük az így kapott inverz függvényt -val! A függvény kétértékű, alakját a 6. ábra mutatja.4 A függvény szerinti deriváltja - az inverz függvény deriválásának megfelelő szabály szerint - a (6) egyenletben adott derivált reciproka. A derivált értéke a függvény két ágán különböző, sőt ellentétes előjelűek (ezért kell venni az abszolút értéket a (9) képletben). Így a differenciális hatáskeresztmetszethez külön-külön adódnak járulékok az egyes ágakból. Világos, hogy a derivált a = helyen szinguláris (végtelen értéket vesz fel), és így a differenciális hatáskeresztmetszet ebben az irányban végtelenné válik. Ez az oka, hogy a szórt fényt ebben a szögben látjuk a legerősebbnek. Vörös színre a differenciális hatáskeresztmetszet a 7. ábrán látható. Megjegyezzük, hogy a hatáskeresztmetszetben fellépő szingularitás gyökös jellegű, azaz

szerint közelíthető közelében. Természetesen a teljes hatáskeresztmetszet, azaz az

mennyiség egyenlő a geometriai keresztmetszettel. Matematikailag az integrál a gyökös szingularitás miatt lesz véges. Teljesen hasonló gondolatmenet alapján belátható, hogy mellékszivárványra inverz függvény deriváltja a p = 3-nak megfelelő értéknél válik végtelenné, és így a hatáskeresztmetszet is.

Összegezve, a szivárvány színeit azokban az irányokban látjuk legerősebbnek, amelyekben az egyes színekhez tartozó differenciális hatáskeresztmetszetek szingulárisak. Ezeket a szögeket a fő- és mellékszivárvány esetében a (8) képletből számolhatjuk ki, és numerikus értékei 1. táblázatban találhatók. Mivel a (3) képletben adott függvénynek csak p > 1 mellett van szélsőértéke, szivárványt csak ekkor figyelhetünk meg. A magasabb rend? szivárványokra (p > 3) a differenciális hatáskeresztmetszetet az előbbiekhez hasonlóan, általában csak numerikusan határozhatjuk meg.

Itt jegyezzük meg, hogy a 4. ábra alapján főszivárványra, adott színű fényre a szórási szög nagyobb a p = 2-nek megfelelő -nél, míg a mellékszivárvány esetén a szórási szög kisebb a p = 3-nak megfelelő -nél. Mivel (p = 3) < (p = 2), e két szög közti irányokból az adott szín? fény sem a főszivárványból, sem a mellékszivárványból nem juthat a szemünkbe. A két szög közti irányban, a fő- és mellékszivárvány között egy sötét tartomány alakul ki, a bevezetőben említett Alexander-féle sötét sáv. Az 1. táblázatból látható, hogy értéke főszivárvány esetén vörös színre a legnagyobb, mellékszivárványnál pedig vörös színre a legkisebb. Így az 1. táblázat numerikus adataival az Alexander-féle sötét sáv a 42,5° és az 50,1° szögek közti irányban látható.

Végül fontos hangsúlyozni, hogy a Descartes-féle elmélet szerint a szórt fény intenzitása sem a vízcsepp méretétől, sem a fény hullámhosszától nem függ. A szivárvány jelenségének megértésében továbblépés Descartes után közel kétszáz évvel következett be. Az új elméletekben a fénynek korábban ismeretlen tulajdonsága, a hullámtermészete kap alapvető szerepet. Ezek az elméletek, a szivárvány pontosabb leírásán túl, nagy hatással voltak az egész optika tudományára is. A következő fejezetekben a szivárványnak a fény hullámtermészetén alapuló elméleteit ismertetjük.

Irodalom

1. http://www.sundog.clara.co.uk/rainbows/bows.htm
2. http://www.sundog.clara.co.uk/rainbows/supers.htm
3. RENÉ DESCARTES: Discours de la Méthode - 1637, további utalások találhatók még[5]-ben
4. MÁTRAI TIBOR: Gyakorlati spektroszkópia - Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963
5. SIMONYI KÁROLY: A fizika kultúrtörténete - Gondolat Kiadó, Budapest, 1986 (3. kiadás)
6. H.M. NUSSENZVEIG: The theory of the rainbow - Scientific American 236 (1977) 116-127
7. HONYEK GYULA: A szivárvány - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok 1991/1 33-37
6. H.M. NUSSENZVEIG: The theory of the rainbow - Scientific American 236 (1977) 116-127
7. HONYEK GYULA: A szivárvány - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok 1991/1 33-37
8. CZELNAI RUDOLF: Bevezetés a meteorológiába I. Légkörtani alapismeretek - Egyetemi jegyzet, Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar, Tankönyvkiadó, Budapest, 1979
9. H.C. VAN DE HULST: Light scattering by small particles - New York, John Wiley & Sons, Inc. 1957; New York, Dover 1981
10. M. KERKER: The scattering of light - Academic Press, New York and London, 1969
11. JOHN A. ADAM: The mathematical physics of rainbows and glories - Physics Reports 356 (2002) 229-365
12. R.L. LEE, JR., A.B. FRASER: The rainbowbridge: rainbows in art, myth and science - Pennsylvania State University, Philadelphia, USA, 2001
13. http://www.kfki.hu/fszemle
    http://complex.elte.hu/cserti/Szivarvany.pdf
14. J.D. WALKER: Multiple rainbows from single drops of water and other liquids - American Journalof Physics 44 (1976) 421-433
15. L.D. LANDAU, E.M. LIFSIC: Elméleti fizika I (Mechanika) - Tankönyvkiadó, Budapest, 1974

_________________________________

1 Megjegyezzük, hogy az angol nyelvű irodalomban ezt a törvényt egyszerűen csak Snell-törvénynek nevezik. Nem lehet bizonyosan tudni, hogy Descartes ismerte-e a leideni egyetem professzora, Willebrord Snell eredményeit, melyet ő maga már 1620-ban tanított az egyetemen. Tény, hogy a töréstörvényt Descartes publikálta először, de nem említi Snell munkásságát. Descartes tudományos tevékenységéről bővebb betekintést például Simonyi Károly művéből kaphatunk [5].

2 Szórási jelenségeknél gyakran fordul elő, hogy ez a függvény nem monoton. Például szivárványnál (p > 1) a 4. ábra alapján jól látható, hogy éppen ez a helyzet. Ilyenkor a függvényt felbontjuk monoton függvények ágaira.

3 Itt jegyezzük meg, hogy p = 0 és p = 1 mellett a hatáskeresztmetszet analitikusan kiszámolható, a részletek megtalálhatók a [15] könyvben a 73. és a 80. oldalon.

4 A függvényt geometriailag a 4. ábrán látható (b) függvénynek a 45°-os egyenesre való tükrözésével kaphatjuk meg.